Тест по предмету «Алгебра» на тему «доказательство неравенств»

Question 1

Задача · 10 класс Задача №3769771

А

Аноним

3 дня назад · публичный вопрос

А

Аноним 3 дня назад

Тест по предмету «Алгебра» на тему «доказательство неравенств»

Answer

Докажите, что для любых действительных чисел \(a\) и \(b\) выполняется неравенство \(a^2 + b^2 \ge 2ab\).
Докажите, что для любых положительных чисел \(x\) и \(y\) выполняется неравенство \(\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \ge 2\).
Докажите, что для любых действительных чисел \(a\) и \(b\) выполняется неравенство \((a + b)^2 \ge 4ab\).
Докажите, что для любых действительных чисел \(a\) и \(b\) выполняется неравенство \(a^2 + b^2 + 1 \ge ab + a + b\).
Докажите, что для любого \(x > 0\) выполняется неравенство \(x + \dfrac{1}{x} \ge 2\).
Докажите, что для любых действительных чисел \(a\), \(b\) и \(c\) выполняется неравенство \(a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca\).
Докажите, что если \(x > 0\), \(y > 0\) и \(x + y = 1\), то \(xy \le \dfrac{1}{4}\).
Докажите, что для любых действительных чисел \(a\) и \(b\) выполняется неравенство \(|a + b| \le |a| + |b|\).
Докажите, что для любых положительных чисел \(a\) и \(b\) выполняется неравенство \((a + b)\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\right) \ge 4\).
Докажите, что для любых действительных чисел \(a\) и \(b\) выполняется неравенство \(a^2 + b^2 \ge 2|ab|\).

Ответы

\((a - b)^2 \ge 0\), поэтому \(a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2 \ge 0\).
\(\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} - 2 = \dfrac{(x - y)^2}{xy} \ge 0\), так как \(xy > 0\).
\((a + b)^2 - 4ab = (a - b)^2 \ge 0\).
\(2(a^2 + b^2 + 1 - ab - a - b) = (a - b)^2 + (a - 1)^2 + (b - 1)^2 \ge 0\).
\(x + \dfrac{1}{x} - 2 = \dfrac{(x - 1)^2}{x} \ge 0\) при \(x > 0\).
\(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \dfrac{1}{2}\left((a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2\right) \ge 0\).
Из \((x - y)^2 \ge 0\) следует \((x + y)^2 \ge 4xy\). При \(x + y = 1\) получаем \(1 \ge 4xy\), то есть \(xy \le \dfrac{1}{4}\).
\(|a + b|^2 = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \le a^2 + 2|ab| + b^2 = (|a| + |b|)^2\). Обе части неотрицательны, значит \(|a + b| \le |a| + |b|\).
\((a + b)\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\right) = 2 + \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}\), а \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} - 2 = \dfrac{(a - b)^2}{ab} \ge 0\), поэтому выражение не меньше \(4\).
\(a^2 + b^2 - 2|ab| = (|a| - |b|)^2 \ge 0\).

Question 2

Тест по предмету «Алгебра» на тему «доказательство неравенств»

Answer

1. Докажите, что для любых действительных чисел \(a\) и \(b\) выполняется неравенство \(a^2 + b^2 \ge 2ab\). 2. Докажите, что для любых положительных чисел \(x\) и \(y\) выполняется неравенство \(\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \ge 2\). 3. Докажите, что для любых действительных чисел \(a\) и \(b\) выполняется неравенство \((a + b)^2 \ge 4ab\). 4. Докажите, что для любых действительных чисел \(a\) и \(b\) выполняется неравенство \(a^2 + b^2 + 1 \ge ab + a + b\). 5. Докажите, что для любого \(x > 0\) выполняется неравенство \(x + \dfrac{1}{x} \ge 2\). 6. Докажите, что для любых действительных чисел \(a\), \(b\) и \(c\) выполняется неравенство \(a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca\). 7. Докажите, что если \(x > 0\), \(y > 0\) и \(x + y = 1\), то \(xy \le \dfrac{1}{4}\). 8. Докажите, что для любых действительных чисел \(a\) и \(b\) выполняется неравенство \(|a + b| \le |a| + |b|\). 9. Докажите, что для любых положительных чисел \(a\) и \(b\) выполняется неравенство \((a + b)\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\right) \ge 4\). 10. Докажите, что для любых действительных чисел \(a\) и \(b\) выполняется неравенство \(a^2 + b^2 \ge 2|ab|\). ## Ответы 1. \((a - b)^2 \ge 0\), поэтому \(a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2 \ge 0\). 2. \(\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} - 2 = \dfrac{(x - y)^2}{xy} \ge 0\), так как \(xy > 0\). 3. \((a + b)^2 - 4ab = (a - b)^2 \ge 0\). 4. \(2(a^2 + b^2 + 1 - ab - a - b) = (a - b)^2 + (a - 1)^2 + (b - 1)^2 \ge 0\). 5. \(x + \dfrac{1}{x} - 2 = \dfrac{(x - 1)^2}{x} \ge 0\) при \(x > 0\). 6. \(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \dfrac{1}{2}\left((a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2\right) \ge 0\). 7. Из \((x - y)^2 \ge 0\) следует \((x + y)^2 \ge 4xy\). При \(x + y = 1\) получаем \(1 \ge 4xy\), то есть \(xy \le \dfrac{1}{4}\). 8. \(|a + b|^2 = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \le a^2 + 2|ab| + b^2 = (|a| + |b|)^2\). Обе части неотрицательны, значит \(|a + b| \le |a| + |b|\). 9. \((a + b)\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\right) = 2 + \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}\), а \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} - 2 = \dfrac{(a - b)^2}{ab} \ge 0\), поэтому выражение не меньше \(4\). 10. \(a^2 + b^2 - 2|ab| = (|a| - |b|)^2 \ge 0\).