Y=log/2(x-2). Постройте график функции

Картинку файлом я прислать не могу, но вот точный эскиз — по нему легко перенести график на бумагу.

 y=3 │                                  ● (10; 3)
 y=2 │                 ● (6; 2)
 y=1 │         ● (4; 1)
 y=0 ┼─────● (3; 0)──────────────────────────→ x
y=−1 │   ● (2,5; −1)
y=−2 │ ● (2,25; −2)
y=−3 ● (2,1; −3)
      ↑
     x=2 — асимптота
      3   4   5   6   7   8   9  10

Как это читать и перенести на бумагу:

1. Проведи пунктиром вертикальную прямую \(x=2\) — это асимптота. Левее неё графика нет вообще (область определения \(x>2\)). Ось \(Oy\) в кадр не попадает: она осталась слева от \(x=2\).

2. Отметь точки: \((2{,}25;-2)\), \((2{,}5;-1)\), \((3;0)\), \((4;1)\), \((6;2)\), \((10;3)\). Обрати внимание: слева от \(x=3\) точки идут очень часто и жмутся к пунктиру, справа — растягиваются всё реже. Так и должно быть: при \(x\to 2^+\) график уходит вниз неограниченно, при \(x\to+\infty\) растёт очень медленно.

3. Соедини точки плавной линией без изломов: слева она почти вертикально прижимается к пунктиру, проходит через \((3;0)\) и дальше полого поднимается вправо-вверх.

4. Для контроля: график целиком лежит правее \(x=2\), пересекает ось \(Ox\) ровно один раз — в точке \((3;0)\), и нигде не поворачивает вниз (функция возрастает).

Если хочешь, скажи — подберу ещё точки для более точного построения или покажу, как выглядит график при другом основании.

Картинку я приложить не могу, но вот сетка «в клеточку» — по ней переносить на бумагу проще всего.

График по клеткам

Каждая клетка — 1 единица по обеим осям.

 y
 3 │ ·  ·  ·  ·  ·  ·  ·  ·  ●        ← (10; 3)
 2 │ ·  ·  ·  ·  ●  ·  ·  ·  ·
 1 │ ·  ·  ●  ·  ·  ·  ·  ·  ·
 0 ├─·──●──·──·──·──·──·──·──·──→ x
−1 │ · ●  ·  ·  ·  ·  ·  ·  ·
−2 │ ●  ·  ·  ·  ·  ·  ·  ·  ·
   └─┬──┬──┬──┬──┬──┬──┬──┬──┬─
     2  3  4  5  6  7  8  9  10
     ↑
   x = 2 — асимптота (пунктир)

Точки графика: \((2{,}25;-2)\), \((2{,}5;-1)\), \((3;0)\), \((4;1)\), \((6;2)\), \((10;3)\).

Главное, что видно по сетке:

• левее \(x=2\) — пусто, там графика нет;
• у самого пунктира \(x=2\) кривая «прилипает» к нему и уходит вниз;
• в точке \((3;0)\) график пересекает ось \(Ox\) — это единственное пересечение;
• дальше вправо кривая ползёт вверх всё медленнее: одна клетка вверх стоит уже 2 клетки вправо, потом 4, потом бесконечно много.

Как получить точный график за 10 секунд

• Desmos (desmos.com): введи в строку y = log_2(x-2) — появится ровно эта кривая, можно двигать и смотреть точки.
• GeoGebra: y = lg(x-2)/lg(2) даст то же самое (там lg — десятичный логарифм, а деление переводит его в двоичный).

Проверка, что график правильный

Возьми любую точку с графика и подставь в формулу: \[ \log_2(4-2)=\log_2 2=1,\qquad \log_2(6-2)=\log_2 4=2. \] Совпадает — значит, построено верно. И ещё: график должен получаться из обычной кривой \(y=\log_2 x\) простым сдвигом вправо на 2 — если мысленно сдвинешь свою картинку на 2 влево, получится стандартный логарифм.

Да, по сути так. Но есть три мелочи, из-за которых на контрольной за такой рисунок снижают балл.

Что именно делать

1. Пунктиром провести \(x=2\) — асимптоту. Потом стереть её или оставить пунктиром, но не превращать в часть графика.
2. Отметить точки: \((2{,}25;-2)\), \((2{,}5;-1)\), \((3;0)\), \((4;1)\), \((6;2)\), \((10;3)\).
3. Соединить их плавной линией от руки, а не отрезками по линейке.
4. Продолжить линию за пределы точек: слева — вниз, прижимая к пунктиру \(x=2\); справа — дальше вверх-вправо.

Где чаще всего теряют балл

• Ломаная вместо кривой. Если соединишь точки отрезками, получится «зигзаг». Логарифм — плавная кривая, без изломов.
• Кривая не доходит до асимптоты. Нельзя начинать график с точки \((2{,}25;-2)\) и обрывать. Нужно показать, что левее кривая уходит вниз и почти сливается с пунктиром \(x=2\), но не касается его.
• Кривая уходит левее \(x=2\). Этого быть не может: там \(x-2<0\), логарифм не существует. Запрещённая зона — слева от пунктира.
• Обрыв справа. После \((10;3)\) линия должна продолжаться, пусть почти горизонтально, но вверх.

Проверка одним взглядом

• Кривая целиком правее \(x=2\) ✔
• Пересекает ось \(Ox\) ровно один раз, в \((3;0)\) ✔
• Всё время идёт вверх, нигде не разворачивается вниз ✔
• Похожа на обычный \(y=\log_2 x\), только сдвинутый на 2 вправо ✔

Если все четыре пункта выполняются — график построен правильно, и это действительно «начертить и соединить», только соединять нужно плавно и с продолжениями.

Нет, не совсем. Запись
\[ y=\log_2|x-2| \] даёт две ветви: модуль «включает» логарифм и при \(x<2\). Правая ветвь (при \(x>2\)) — та же, что мы строили ранее. Левая — её зеркальное отражение относительно прямой \(x=2\).

1. Исследование

• Область определения: \(|x-2|>0\), то есть \(x\ne2\).
• Нули: \(y=0\Rightarrow |x-2|=1\Rightarrow x=1\) или \(x=3\).
• Пересечение с осью \(Oy\): при \(x=0\)
  \[ y=\log_2|0-2|=\log_2 2=1, \] точка \((0;1)\).
• Вертикальная асимптота: \(x=2\). При \(x\to2\) с любой стороны \(y\to-\infty\).
• Симметрия: \(f(2+t)=f(2-t)\), график симметричен относительно \(x=2\).
• Монотонность: убывает на \((-\infty;2)\), возрастает на \((2;+\infty)\).
• Область значений: \(y\in\mathbb R\).

2. Таблица точек

\[ \begin{array}{c|cccccccccc} x & -6 & -2 & 0 & 1 & 1{,}5 & 2{,}5 & 3 & 4 & 6 & 10\\ \hline y & 3 & 2 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \end{array} \]

3. Как построить

1. Проведи пунктиром вертикальную прямую \(x=2\).
2. Построй правую ветвь по точкам \((3;0)\), \((4;1)\), \((6;2)\), \((10;3)\). У \(x=2\) она уходит вниз к \(-\infty\).
3. Построй левую ветвь симметрично относительно \(x=2\): \((1;0)\), \((0;1)\), \((-2;2)\), \((-6;3)\). У \(x=2\) она тоже уходит вниз.
4. Соедини точки плавными линиями. График не должен пересекать \(x=2\).

4. Схема

 y
 3 │ ●(-6;3)                          ●(10;3)
 2 │   ●(-2;2)                  ●(6;2)
 1 │     ●(0;1)          ●(4;1)
 0 ├────────●──────────────●────────→ x
   │       (1;0)        (3;0)
-1 │           ●        ●
   │         (1,5;-1)(2,5;-1)
-2 │             ●    ●
   └──────────────┬──────────────
                 x=2 — асимптота

Обе ветви прижимаются к пунктиру \(x=2\) и уходят вниз; влево и вправо они медленно поднимаются вверх.

5. Проверка

\[ \log_2|0-2|=\log_2 2=1, \] \[ \log_2|4-2|=\log_2 2=1. \] Точки \((0;1)\) и \((4;1)\) симметричны относительно \(x=2\), как и должно быть.

В Desmos можно ввести:
y = log_2(abs(x-2))
или
y = ln(abs(x-2))/ln(2).

Если основание не \(2\), а \(\frac12\), скажи — для него ветви будут уходить вверх у асимптоты.