Y=log/2 |x-2|. Нужно начертить график
Считаю, что задание такое:
\[ y=\log_2 |x-2| \]
Краткий ответ: график состоит из двух симметричных относительно прямой \(x=2\) ветвей логарифма. Прямая \(x=2\) — вертикальная асимптота; график через неё не проходит.
Как построить
Область определения: \[ x-2\neq 0 \Rightarrow x\neq 2 \] То есть прямая \(x=2\) — асимптота.
Для \(x>2\): \[ y=\log_2(x-2) \] Это обычный график \(y=\log_2 x\), сдвинутый на \(2\) вправо. Построй правую ветвь по точкам:
\[ (2{,}25;-2),\ (2{,}5;-1),\ (3;0),\ (4;1),\ (6;2),\ (10;3) \]
- Для \(x<2\): \[ y=\log_2(2-x) \] Это зеркальное отражение правой ветви относительно вертикальной прямой \(x=2\). Точки левой ветви:
\[ (1{,}75;-2),\ (1{,}5;-1),\ (1;0),\ (0;1),\ (-2;2),\ (-6;3) \]
При приближении к \(x=2\) слева и справа: \[ |x-2|\to 0^+ \Rightarrow y\to -\infty \] Поэтому обе ветви около \(x=2\) уходят вниз.
При удалении от \(x=2\): \[ x\to\pm\infty \Rightarrow y\to+\infty \] Поэтому обе ветви медленно поднимаются вверх.
Контрольные точки
| \(x\) | \(-6\) | \(-2\) | \(0\) | \(1\) | \(1{,}5\) | \(2\) | \(2{,}5\) | \(3\) | \(4\) | \(6\) | \(10\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(3\) | \(2\) | \(1\) | \(0\) | \(-1\) | нет | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
Схематично:
y
↑
2 •(-2;2) •(6;2)
1 •(0;1) •(4;1)
0 ───•(1;0)───┊───•(3;0)──→ x
-1 •(1,5;-1)┊•(2,5;-1)
-2 •(1,75;-2)•(2,25;-2)
x=2
Вывод: начерти пунктиром вертикальную прямую \(x=2\), а по обе стороны от неё — две симметричные логарифмические ветви: внизу они приближаются к асимптоте, а вдали от неё плавно идут вверх.
Обсуждение
7 сообщенийГрафик функции
Ну?
Беру функцию как \(y=\log_2|x-2|\).
График состоит из двух симметричных ветвей относительно прямой \(x=2\).
- Область определения: \(x\ne 2\).
- \(x=2\) — вертикальная асимптота: обе ветви уходят вниз, к \(-\infty\).
- Нули функции:
\[ |x-2|=1 \Rightarrow x=1 \text{ или } x=3. \] То есть точки \((1;0)\) и \((3;0)\). - Точка на оси \(y\): \((0;1)\).
Ключевые точки:
| \(x\) | \(1{,}5\) | \(1{,}75\) | \(1\) | \(0\) | \(-2\) | \(-6\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(-1\) | \(-2\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
| \(x\) | \(2{,}25\) | \(2{,}5\) | \(3\) | \(4\) | \(6\) | \(10\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
Схематично:
y
3 •(-6) •(10)
2 •(-2) •(6)
1 •(0) •(4)
0 •(1) ┆ •(3) x
-1 •(1.5) ┆ •(2.5)
-2 •(1.75) ┆ •(2.25)
x=2
На бумаге: проведи пунктиром вертикальную прямую \(x=2\), отметь точки из таблиц и плавно соедини их в две ветви — слева и справа от асимптоты.
И что это за такой график непонятный? Нарисуй мне понятный график!
Согласен, предыдущая схема получилась неудобной. Давай нарисуем понятнее.
Функция:
\[ y=\log_2|x-2| \]
График — это две одинаковые ветви, зеркальные друг другу относительно прямой \(x=2\). Прямая \(x=2\) — «запрещённая» вертикальная линия: график к ней приближается, но не пересекает.
y
↑
3 |● ●
2 | ● ●
1 | ● ●
0 |— — —●———————●— — — — — — → x
-1| ● ●
-2| ● ●
| ┃
| x=2
Точки для построения:
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(1{,}5\) | \(1{,}75\) | \(2\) | \(2{,}25\) | \(2{,}5\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(1\) | \(0\) | \(-1\) | \(-2\) | нет | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) |
Как перенести на бумагу:
- Начерти оси \(x\) и \(y\).
- Пунктиром проведи вертикальную прямую \(x=2\).
- Отметь точки \((0;1)\), \((1;0)\), \((1{,}5;-1)\), \((1{,}75;-2)\) — это левая ветвь.
- Отметь \((3;0)\), \((4;1)\), \((2{,}5;-1)\), \((2{,}25;-2)\) — это правая ветвь.
- Соедини точки плавной линией: около \(x=2\) ветви уходят вниз, а в стороны — плавно поднимаются вверх.
- Для продолжения вверх добавь \((6;2)\), \((10;3)\) справа и \((-2;2)\), \((-6;3)\) слева.
Получается как две «горки», которые смотрят вниз к линии \(x=2\).
y=log/3 (3-x). Нарисовать график
Если имеется в виду
\[ y=\log_3(3-x), \]
то график выглядит так:
- область определения:
\[ 3-x>0 \Rightarrow x<3; \] - прямая \(x=3\) — вертикальная асимптота;
- график существует только слева от \(x=3\);
- при \(x\to 3^-\) график уходит вниз: \(y\to-\infty\);
- при \(x\to-\infty\) график медленно поднимается вверх: \(y\to+\infty\).
Точки для построения:
| \(x\) | \(-24\) | \(-6\) | \(0\) | \(2\) | \(\frac83\) | \(\frac{26}{9}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(3\) | \(2\) | \(1\) | \(0\) | \(-1\) | \(-2\) |
Схема:
y
↑
3 |●
2 | ●
1 | ●
0 | ●
-1| ●
-2| ●
| ┃
+───────────┃────→ x
3
Как начертить:
- Проведи оси \(x\) и \(y\).
- Пунктиром отметь вертикальную прямую \(x=3\).
- Поставь точки из таблицы.
- Соедини их плавной убывающей линией.
- Слева линия уходит вверх, а справа, около \(x=3\), — вниз, не пересекая пунктир.
Важно: справа от \(x=3\) графика нет.
