Реши задание на изображении

Задача 83 (рис. 132)

Краткие ответы: а) 70°; б) 10; в) \(1<\,?\,<43\); г) 130°.

а) Штрихами отмечены равные стороны — левая сторона и основание. Значит, треугольник равнобедренный, и углы при основании (верхний и правый нижний) равны. Правый нижний угол равен 70°, поэтому верхний тоже 70°. (Угол при левой нижней вершине: \(180^\circ-70^\circ-70^\circ=40^\circ\).)

б) На рисунке прямоугольный треугольник с гипотенузой 20. Медиана, проведённая из прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы: \[ ?=\frac{20}{2}=10. \] Катет 12 дан для полноты картины — на свойство медианы он не влияет.

в) По неравенству треугольника третья сторона больше разности двух других и меньше их суммы: \[ 22-21<\,?\,<22+21, \] то есть \[ 1<\,?\,<43. \] Одного числа здесь быть не может — подходит любое значение из этого промежутка.

г) Внешний угол при левой нижней вершине равен 155°, значит внутренний угол там: \[ 180^\circ-155^\circ=25^\circ. \] Верхний угол тоже 25°. Тогда третий угол: \[ 180^\circ-25^\circ-25^\circ=130^\circ. \] Можно и через теорему о внешнем угле: \(155^\circ=25^\circ+?\), откуда \(?=130^\circ\).

Задача 63 (рис. 114)

а) \(\triangle AOC=\triangle DOB\): \(AO=OD\) (одинарные штрихи), \(CO=OB\) (двойные штрихи), \(\angle AOC=\angle DOB\) (вертикальные). Признак равенства по двум сторонам и углу между ними.

б) \(\triangle ABM=\triangle CBM\): \(AM=MC\) (штрихи), \(BM\) — общая, \(\angle AMB=\angle CMB=90^\circ\) (\(BM\perp AC\)). Признак по двум сторонам и углу между ними.

в) \(\triangle ACB=\triangle ACD\): \(AB=AD\) (штрихи), \(AC\) — общая, \(\angle BAC=\angle DAC\) (отмечены равные углы). Признак по двум сторонам и углу между ними.

г) \(\triangle ABC=\triangle ADC\): \(AB=AD\), \(BC=DC\) (штрихи), \(AC\) — общая. Признак равенства по трём сторонам.

Задача 64 (рис. 115)

1. \(\triangle ACD=\triangle BDA\) по двум сторонам и углу между ними: \[ AC=DB\ (\text{дано}),\quad \angle CAD=\angle BDA\ (\text{дано}),\quad AD\ \text{— общая}. \] Значит, \(AB=CD\) и \(\angle ACD=\angle ABD\).

2. \(\triangle ABC=\triangle DCB\) по трём сторонам: \[ AB=CD\ (\text{из п. 1}),\quad AC=DB\ (\text{дано}),\quad BC\ \text{— общая}. \] Отсюда:

• а) \(\angle ABC=\angle DCB\), то есть \(\angle B=\angle C\);
• б) \(\angle BAC=\angle CDB\).

Проверка соответствия вершин: в п. 1 \(A\leftrightarrow D,\ C\leftrightarrow B,\ D\leftrightarrow A\); в п. 2 \(A\leftrightarrow D,\ B\leftrightarrow C,\ C\leftrightarrow B\), поэтому углы совпадают именно так.