Реши задание на изображении
Кратко:
- \(R_{ab}=2{,}5\) Ом.
- При разомкнутом \(K\): \(20\) Ом; при замкнутом \(K\): тоже \(20\) Ом.
- \(U\approx 34{,}4\) В.
- \(R_{ab}=\frac{71}{12}\approx 5{,}92\) Ом.
Задача 1
Четыре одинаковых резистора \(R=10\) Ом включены параллельно:
\[ \frac1{R_{ab}}=\frac1R+\frac1R+\frac1R+\frac1R=\frac4R, \]
\[ R_{ab}=\frac R4=\frac{10}{4}=2{,}5\ \text{Ом}. \]
Задача 2
Схема — уравновешенный мост: все четыре резистора одинаковы, \(R=20\) Ом.
При разомкнутом ключе:
\[ R_{ab}=(2R)\parallel(2R)=R=20\ \text{Ом}. \]
При замкнутом ключе правая пара узлов соединяется, но из-за равенства сопротивлений они и так имеют одинаковый потенциал. Поэтому ток через ключ \(K\) не идёт, и:
\[ R_{ab}=\left(\frac R2\right)+\left(\frac R2\right)=R=20\ \text{Ом}. \]
Ответ: \(20\) Ом в обоих случаях.
Задача 3
По рисунку \(R_4\) подключён между средней точкой делителя \(R_3\)—\(R_1\) и зажимом \(b\).
Сначала:
\[ R_2+R_3=4+4=8\ \text{Ом}. \]
\[ R_1+R_5=2+4=6\ \text{Ом}. \]
Ветвь \(R_1+R_5\) и \(R_4\) стоят параллельно между одной и той же средней точкой и \(b\):
\[ 6\parallel 6=\frac{6\cdot6}{6+6}=3\ \text{Ом}. \]
Тогда левая часть схемы:
\[ 8+3=11\ \text{Ом}. \]
Резистор \(R_6=5\) Ом включён параллельно всей левой части:
\[ R_{ab}=11\parallel 5=\frac{11\cdot5}{11+5} =\frac{55}{16}=3{,}4375\ \text{Ом}. \]
Ток источника \(I=10\) А, значит:
\[ U=I R_{ab}=10\cdot3{,}4375=34{,}375\ \text{В}. \]
Ответ: \(U\approx 34{,}4\) В.
Задача 4
Здесь удобно применить преобразование «треугольник → звезда».
Правый треугольник \(R_6,R_7,R_8\) заменяем звездой:
\[ r_1=\frac{R_6R_7}{R_6+R_7+R_8} =\frac{1\cdot4}{1+4+5}=0{,}4\ \text{Ом}, \]
\[ r_2=\frac{R_6R_8}{10}=0{,}5\ \text{Ом}, \]
\[ r_3=\frac{R_7R_8}{10}=2\ \text{Ом}. \]
После этого:
\[ R_4+r_1=4+0{,}4=4{,}4\ \text{Ом}, \]
\[ R_5+r_2=5+0{,}5=5{,}5\ \text{Ом}. \]
Далее преобразуем треугольник \(R_3=3\) Ом, \(4{,}4\) Ом, \(5{,}5\) Ом в звезду:
\[ r_M=\frac{3\cdot4{,}4}{3+4{,}4+5{,}5}=1{,}023\ \text{Ом}, \]
\[ r_N=\frac{3\cdot5{,}5}{12{,}9}=1{,}279\ \text{Ом}, \]
\[ r_O=\frac{4{,}4\cdot5{,}5}{12{,}9}=1{,}876\ \text{Ом}. \]
Тогда:
\[ (2+1{,}023)\parallel(5+1{,}279)\approx2{,}041\ \text{Ом}. \]
И остаётся последовательно:
\[ R_{ab}\approx2{,}041+1{,}876+2 =5{,}917\ \text{Ом}. \]
Точное значение:
\[ R_{ab}=\frac{71}{12}\approx5{,}92\ \text{Ом}. \]
Ответ: \(R_{ab}\approx5{,}92\) Ом.
Обсуждение
1 сообщениеНиже — те же ответы, но без «хитрых» преобразований: только закон Ома \(I=U/R\) и правило узлов Кирхгофа.
Кратко:
- \(2{,}5\) Ом.
- \(20\) Ом и при разомкнутом, и при замкнутом ключе.
- \(U=34{,}375\) В \(\approx34{,}4\) В.
- \(R_{ab}=71/12\) Ом \(\approx5{,}92\) Ом.
1. Четыре одинаковых резистора параллельно
\(R=10\) Ом.
Пусть напряжение между точками \(a\) и \(b\) равно \(U\). Тогда ток в каждом резисторе:
\[ I_1=\frac UR. \]
Всего четыре одинаковые ветви:
\[ I=4\frac UR. \]
Отсюда:
\[ R_{ab}=\frac UI=\frac{U}{4U/R}=\frac R4=\frac{10}{4}=2{,}5\ \text{Ом}. \]
Ответ: \(2{,}5\) Ом.
2. Четыре резистора по \(20\) Ом
Ключ разомкнут
Получаются две одинаковые ветви по два резистора:
\[ R_{\text{ветви}}=20+20=40\ \text{Ом}. \]
Две такие ветви включены параллельно:
\[ R_{ab}=\frac{40\cdot40}{40+40}=20\ \text{Ом}. \]
Ключ замкнут
После замыкания две верхние точки соединяются, и схема распадается на две пары параллельных резисторов.
Сначала:
\[ 20\parallel20=10\ \text{Ом}. \]
Потом ещё раз:
\[ 20\parallel20=10\ \text{Ом}. \]
Эти участки идут последовательно:
\[ R_{ab}=10+10=20\ \text{Ом}. \]
Ответ: \(20\) Ом в обоих случаях.
3. Найти напряжение \(U\) при токе \(10\) А
На схеме:
\[ R_2+R_3=4+4=8\ \text{Ом}, \]
\[ R_1+R_5=2+4=6\ \text{Ом}. \]
Пусть \(\varphi_b=0\), а \(\varphi_a=U\). Узел между \(R_3\), \(R_4\), \(R_1\) обозначим \(M\), его потенциал — \(x\).
По правилу узлов в точке \(M\):
\[ \frac{U-x}{8}=\frac{x}{6}+\frac{x}{6}. \]
То есть:
\[ \frac{U-x}{8}=\frac{x}{3}. \]
Умножаем крест-накрест:
\[ 3(U-x)=8x, \]
\[ 3U-3x=8x, \]
\[ 3U=11x, \]
\[ x=\frac{3U}{11}. \]
Ток через левую ветвь:
\[ I_{\text{лев}}=\frac{U-x}{8} =\frac{U-\frac{3U}{11}}{8} =\frac{\frac{8U}{11}}{8} =\frac{U}{11}. \]
Ток через \(R_6=5\) Ом:
\[ I_6=\frac U5. \]
Общий ток \(10\) А:
\[ 10=\frac U{11}+\frac U5. \]
\[ 10=U\left(\frac1{11}+\frac15\right) =U\cdot\frac{16}{55}. \]
Отсюда:
\[ U=10\cdot\frac{55}{16} =\frac{550}{16} =34{,}375\ \text{В}. \]
Ответ: \(U\approx34{,}4\) В.
4. Найти \(R_{ab}\)
Здесь удобнее всего сделать «по-простому, но громоздко»: обозначить потенциалы всех узлов и записать для каждого узла сумму токов.
По схеме:
\[ R_1=2,\quad R_2=5,\quad R_3=3,\quad R_4=4, \] \[ R_5=5,\quad R_6=1,\quad R_7=4,\quad R_8=5\ \text{Ом}. \]
Пусть:
\[ \varphi_b=0,\qquad \varphi_a=1\ \text{В}. \]
Обозначим потенциалы узлов:
\[ \varphi_P=p,\qquad \varphi_Q=q,\qquad \varphi_X=x,\qquad \varphi_Y=y. \]
Для узла \(P\):
\[ \frac{p-1}{2}+\frac{p-q}{3}+\frac{p-y}{4}=0. \]
Для узла \(Q\):
\[ \frac{q-1}{5}+\frac{q-p}{3}+\frac{q-x}{5}=0. \]
Для узла \(X\):
\[ \frac{x-q}{5}+(x-y)+\frac{x}{5}=0. \]
Для узла \(Y\):
\[ \frac{y-p}{4}+(y-x)+\frac{y}{4}=0. \]
После приведения получаем систему:
\[ \begin{cases} 13p-4q-3y=6,\\ -5p+11q-3x=3,\\ 7x-q-5y=0,\\ 6y-p-4x=0. \end{cases} \]
Из последних двух уравнений:
\[ q=7x-5y, \]
\[ p=6y-4x. \]
Подставляем в первые два:
\[ -80x+95y=6, \]
\[ 94x-85y=3. \]
Решаем:
\[ x=\frac{53}{142},\qquad y=\frac{134}{355}. \]
Тогда:
\[ q=7x-5y=\frac{103}{142}, \]
\[ p=6y-4x=\frac{274}{355}. \]
Общий ток, входящий в схему через узел \(a\):
\[ I=\frac{1-p}{2}+\frac{1-q}{5}. \]
Подставляем:
\[ I=\frac{1-\frac{274}{355}}{2} +\frac{1-\frac{103}{142}}{5} \]
\[ I=\frac{81}{710}+\frac{39}{710} =\frac{120}{710} =\frac{12}{71}\ \text{А}. \]
Так как напряжение было \(1\) В, сопротивление:
\[ R_{ab}=\frac{U}{I} =\frac{1}{12/71} =\frac{71}{12}\ \text{Ом}. \]
\[ \frac{71}{12}=5\frac{11}{12}\approx5{,}92\ \text{Ом}. \]
Ответ: \(R_{ab}=71/12\approx5{,}92\) Ом.
Итог
- \(R_{ab}=2{,}5\) Ом.
- В обоих случаях \(R_{ab}=20\) Ом.
- \(U=34{,}375\) В \(\approx34{,}4\) В.
- \(R_{ab}=71/12\approx5{,}92\) Ом.
