Тест по предмету «Алгебра» на тему «Доказательство тригонометрических тождеств»

Question 1

Задача · 10 класс Задача №3769931

А

Аноним

3 дня назад · публичный вопрос

А

Аноним 3 дня назад

Тест по предмету «Алгебра» на тему «Доказательство тригонометрических тождеств»

Answer

Докажите тождество: $(\sin x+\cos x)^2=1+2\sin x\cos x$.
Докажите тождество: $\cos^4 x-\sin^4 x=\cos 2x$.
Докажите тождество при всех допустимых значениях $x$: $\dfrac{1-\cos^2 x}{\sin x\cos x}=\operatorname{tg}x$.
Докажите тождество: $\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta$.
Докажите тождество при всех допустимых значениях $\alpha$: $\dfrac{\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}=\operatorname{tg}\alpha$.
Докажите тождество при всех допустимых значениях $\alpha$ и $\beta$: $\dfrac{\sin\alpha-\sin\beta}{\cos\alpha+\cos\beta}=\operatorname{tg}\dfrac{\alpha-\beta}{2}$.
Докажите тождество: $\sin^2(\alpha+\beta)-\sin^2(\alpha-\beta)=\sin 2\alpha\sin 2\beta$.
Докажите тождество при всех допустимых значениях $x$: $\dfrac{1-\operatorname{tg}^2x}{1+\operatorname{tg}^2x}=\cos 2x$.
Докажите тождество при всех допустимых значениях $x$: $\dfrac{\sin x+\sin 3x}{\cos x+\cos 3x}=\operatorname{tg}2x$.
Докажите тождество: $\cos^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1+\cos\alpha}{2}$.

Ответы

Раскрыть квадрат: $\sin^2x+2\sin x\cos x+\cos^2x=1+2\sin x\cos x$.
Разложить как разность квадратов: $(\cos^2x-\sin^2x)(\cos^2x+\sin^2x)=\cos 2x$.
$1-\cos^2x=\sin^2x$, поэтому дробь равна $\dfrac{\sin x}{\cos x}=\operatorname{tg}x$.
Раскрыть косинус суммы и разности; слагаемые с синусами взаимно уничтожаются.
$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$, $1+\cos2\alpha=2\cos^2\alpha$; после сокращения получается $\operatorname{tg}\alpha$.
Применить формулы разности синусов и суммы косинусов; после сокращения получается $\operatorname{tg}\dfrac{\alpha-\beta}{2}$.
Разложить разность квадратов и применить формулы суммы и разности синусов: $(2\cos\alpha\sin\beta)(2\sin\alpha\cos\beta)=\sin2\alpha\sin2\beta$.
Выразить $\operatorname{tg}x$ через $\sin x$ и $\cos x$: $\dfrac{\cos^2x-\sin^2x}{\cos^2x+\sin^2x}=\cos2x$.
$\sin x+\sin3x=2\sin2x\cos x$, $\cos x+\cos3x=2\cos2x\cos x$; после сокращения получается $\operatorname{tg}2x$.
Использовать формулу $\cos\alpha=2\cos^2\dfrac{\alpha}{2}-1$ и выразить $\cos^2\dfrac{\alpha}{2}$.

Question 2

Тест по предмету «Алгебра» на тему «Доказательство тригонометрических тождеств»

Answer

1. Докажите тождество: $(\sin x+\cos x)^2=1+2\sin x\cos x$. 2. Докажите тождество: $\cos^4 x-\sin^4 x=\cos 2x$. 3. Докажите тождество при всех допустимых значениях $x$: $\dfrac{1-\cos^2 x}{\sin x\cos x}=\operatorname{tg}x$. 4. Докажите тождество: $\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta$. 5. Докажите тождество при всех допустимых значениях $\alpha$: $\dfrac{\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}=\operatorname{tg}\alpha$. 6. Докажите тождество при всех допустимых значениях $\alpha$ и $\beta$: $\dfrac{\sin\alpha-\sin\beta}{\cos\alpha+\cos\beta}=\operatorname{tg}\dfrac{\alpha-\beta}{2}$. 7. Докажите тождество: $\sin^2(\alpha+\beta)-\sin^2(\alpha-\beta)=\sin 2\alpha\sin 2\beta$. 8. Докажите тождество при всех допустимых значениях $x$: $\dfrac{1-\operatorname{tg}^2x}{1+\operatorname{tg}^2x}=\cos 2x$. 9. Докажите тождество при всех допустимых значениях $x$: $\dfrac{\sin x+\sin 3x}{\cos x+\cos 3x}=\operatorname{tg}2x$. 10. Докажите тождество: $\cos^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1+\cos\alpha}{2}$. ## Ответы 1. Раскрыть квадрат: $\sin^2x+2\sin x\cos x+\cos^2x=1+2\sin x\cos x$. 2. Разложить как разность квадратов: $(\cos^2x-\sin^2x)(\cos^2x+\sin^2x)=\cos 2x$. 3. $1-\cos^2x=\sin^2x$, поэтому дробь равна $\dfrac{\sin x}{\cos x}=\operatorname{tg}x$. 4. Раскрыть косинус суммы и разности; слагаемые с синусами взаимно уничтожаются. 5. $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$, $1+\cos2\alpha=2\cos^2\alpha$; после сокращения получается $\operatorname{tg}\alpha$. 6. Применить формулы разности синусов и суммы косинусов; после сокращения получается $\operatorname{tg}\dfrac{\alpha-\beta}{2}$. 7. Разложить разность квадратов и применить формулы суммы и разности синусов: $(2\cos\alpha\sin\beta)(2\sin\alpha\cos\beta)=\sin2\alpha\sin2\beta$. 8. Выразить $\operatorname{tg}x$ через $\sin x$ и $\cos x$: $\dfrac{\cos^2x-\sin^2x}{\cos^2x+\sin^2x}=\cos2x$. 9. $\sin x+\sin3x=2\sin2x\cos x$, $\cos x+\cos3x=2\cos2x\cos x$; после сокращения получается $\operatorname{tg}2x$. 10. Использовать формулу $\cos\alpha=2\cos^2\dfrac{\alpha}{2}-1$ и выразить $\cos^2\dfrac{\alpha}{2}$.