Номер 15

Краткий ответ: а) \(y=5\); б) \(y=-\frac32=-1{,}5\); в) \(x=0\) или \(x=1\); г) \(x=0\).

Почему так

Дробь \(\frac{A}{B}\) равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю: \[ A=0,\qquad B\ne0. \] Если числитель и знаменатель одновременно обращаются в ноль, дробь не определена — такое значение не подходит.

а) \(\dfrac{y-5}{8}=0\)

Числитель: \(y-5=0\), значит \(y=5\).
Знаменатель \(8\ne0\), поэтому значение подходит.

Проверка: \(\dfrac{5-5}{8}=\dfrac08=0\).

б) \(\dfrac{2y+3}{10}=0\)

\[ 2y+3=0,\qquad 2y=-3,\qquad y=-1{,}5. \] Знаменатель \(10\ne0\), значит ответ подходит.

Проверка: \(2\cdot(-1{,}5)+3=-3+3=0\).

в) \(\dfrac{x(x-1)}{x+4}=0\)

Числитель: \[ x(x-1)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \text{ или } x=1. \] Но знаменатель не должен быть нулём: \[ x+4\ne0 \quad\Rightarrow\quad x\ne-4. \] Ни \(0\), ни \(1\) не равны \(-4\), поэтому оба значения подходят.

г) \(\dfrac{x(x+3)}{2x+6}=0\)

Числитель: \[ x(x+3)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \text{ или } x=-3. \] Теперь проверим знаменатель: \[ 2x+6\ne0 \quad\Rightarrow\quad 2(x+3)\ne0 \quad\Rightarrow\quad x\ne-3. \] Значит, \(x=-3\) — постороннее значение: при нём и числитель, и знаменатель равны нулю, то есть получается \(\frac00\), а такая дробь не имеет смысла.

Остаётся только: \[ x=0. \]

Проверка: при \(x=0\) получаем \(\dfrac{0\cdot3}{6}=\dfrac06=0\). При \(x=-3\) получаем \(\dfrac00\) — не определено.

Как решать похожие задания

1. Приравняй числитель к нулю и реши уравнение.
2. Найди значения переменной, при которых знаменатель равен нулю, — их нужно исключить.
3. Убери из найденных корней «запрещённые» значения.
4. Подставь оставшиеся корни в исходную дробь и проверь, что получается \(0\).