Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
В сообщении — уравнение, а на фото — самостоятельная работа по русскому языку. Ниже решение уравнения.
Краткий ответ: \(x_1 = 2,\ x_2 = 3\).
Как решить
Уравнение \(x^2 - 5x + 6 = 0\) — квадратное. Его левую часть можно разложить на множители. Ищем два числа, которые в произведении дают \(6\), а в сумме — \(5\). Это \(2\) и \(3\), поэтому:
\[ x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3). \]
Получаем:
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0, \]
откуда \(x=2\) или \(x=3\).
Проверка
Подставим \(2\):
\[ 2^2 - 5\cdot2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0. \]
Подставим \(3\):
\[ 3^2 - 5\cdot3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0. \]
Оба корня подходят.
Принцип для похожих заданий
Если уравнение имеет вид \(x^2 + bx + c = 0\) и корни целые, их удобно искать по теореме Виета:
\[ x_1+x_2=-b,\qquad x_1x_2=c. \]
В нашем случае \(b=-5\), \(c=6\), значит, сумма корней равна \(5\), а произведение \(6\). Подходят числа \(2\) и \(3\).
Универсальный способ — через дискриминант:
\[ D=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1, \]
\[ x_{1,2}=\frac{5\pm1}{2}. \]
Отсюда \(x_1=3\), \(x_2=2\).
Ответ: \(2;\ 3\).
На фото — задания по русскому языку; если нужно разобрать их, напиши.
Обсуждение
4 сообщенияДа
Пришли, пожалуйста, фото самостоятельной работы ещё раз — в чате его не видно, и я не могу разобрать задания. Можно также написать условия текстом.
Объясни теорему Виета подробнее
Теорема Виета связывает корни квадратного уравнения с его коэффициентами. Она позволяет быстро находить корни, проверять их и составлять уравнения по известным корням.
1. Формулировка
Для приведённого квадратного уравнения
\[ x^2+px+q=0 \]
корни \(x_1\) и \(x_2\) удовлетворяют равенствам:
\[ x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q. \]
То есть сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Для общего уравнения
\[ ax^2+bx+c=0 \quad (a\ne 0) \]
формулы такие:
\[ x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}. \]
Если уравнение приведённое, то \(a=1\), и получаются первые формулы.
2. Откуда берутся формулы
Пусть \(x_1\) и \(x_2\) — корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\). Тогда левую часть можно разложить на множители:
\[ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2). \]
Раскроем скобки:
\[ a(x-x_1)(x-x_2)=a\bigl(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2\bigr). \]
То есть
\[ ax^2+bx+c=ax^2-a(x_1+x_2)x+a x_1x_2. \]
Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях \(x\):
\[ b=-a(x_1+x_2),\qquad c=a x_1x_2. \]
Отсюда:
\[ x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}. \]
Для приведённого уравнения \(a=1\), поэтому
\[ x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q. \]
3. Обратная теорема Виета
Она часто используется для составления уравнения по корням.
Если числа \(m\) и \(n\) таковы, что
\[ m+n=-p,\qquad mn=q, \]
то \(m\) и \(n\) — корни уравнения
\[ x^2+px+q=0. \]
Почему это верно? Рассмотрим произведение:
\[ (x-m)(x-n)=x^2-(m+n)x+mn. \]
По условию \(m+n=-p\) и \(mn=q\), значит,
\[ (x-m)(x-n)=x^2+px+q. \]
Уравнение \(x^2+px+q=0\) равносильно \((x-m)(x-n)=0\), поэтому его корни — это \(m\) и \(n\).
4. Примеры
Пример 1
\[ x^2-5x+6=0. \]
Здесь \(p=-5,\ q=6\). Значит,
\[ x_1+x_2=5,\qquad x_1x_2=6. \]
Подбираем числа: \(2\) и \(3\), потому что
\[ 2+3=5,\qquad 2\cdot 3=6. \]
Ответ: \(2;\ 3\).
Пример 2
\[ 2x^2-7x+3=0. \]
Здесь \(a=2,\ b=-7,\ c=3\). По теореме Виета:
\[ x_1+x_2=\frac{7}{2}=3{,}5,\qquad x_1x_2=\frac{3}{2}=1{,}5. \]
Подходят числа \(3\) и \(0{,}5\):
\[ 3+0{,}5=3{,}5,\qquad 3\cdot 0{,}5=1{,}5. \]
Ответ: \(3;\ 0{,}5\).
Пример 3. Составим уравнение по корням
Пусть корни равны \(-4\) и \(7\). Тогда
\[ x_1+x_2=3,\qquad x_1x_2=-28. \]
Приведённое уравнение:
\[ x^2-3x-28=0. \]
Проверка:
\[ (-4)+7=3,\qquad (-4)\cdot 7=-28. \]
5. Важные нюансы
Теорема Виета работает только при \(a\ne 0\) — иначе это не квадратное уравнение.
Если дискриминант отрицательный, действительных корней нет, поэтому говорить об их сумме и произведении в действительных числах нельзя.
Если дискриминант равен нулю, корень один, но формулы Виета всё равно формально работают: \(x_1=x_2\).
Теорема Виета не заменяет дискриминант полностью. Она удобна, когда корни легко подбираются, но если корни сложные или иррациональные, надёжнее решать через дискриминант.
Полезное следствие. Если известны сумма и произведение корней, можно находить выражения вроде
\[ x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2. \]
Например, для \(x^2-5x+6=0\):
\[ x_1^2+x_2^2=5^2-2\cdot 6=25-12=13. \]
Коротко для запоминания
Для \(x^2+px+q=0\):
\[ \boxed{x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q.} \]
Сумма корней — с минусом перед \(p\), произведение — просто \(q\).
На фото — самостоятельная работа по русскому языку; к теореме Виета она не относится. Если нужно разобрать и её, напиши.
