3.150 решение

Ответ: а) 8; б) 5; в) 3; г) 1; д) 24; е) 56; ж) 48; з) 1400; и) 87.

Принцип. При делении с остатком \(a\) на \(b\) верно равенство
\[ a=bq+r,\qquad 0\le r<b, \] где \(q\) — неполное частное, \(r\) — остаток. Чтобы найти \(r\), подбирают наибольшее \(q\), при котором \(bq\le a\), а затем вычитают: \(r=a-bq\). Если \(bq>a\), то \(q\) слишком велико; если \(r\ge b\), то \(q\) слишком мало.

Пример. \(548:9\).
\(9\cdot60=540\le548\), а \(9\cdot61=549>548\). Значит, \(q=60\),
\[ r=548-540=8. \] Проверка: \(9\cdot60+8=548\), причём \(8<9\).

Разбор всех пунктов: \[ \begin{aligned} \text{а)}\;&548=9\cdot60+8;\\ \text{б)}\;&371=6\cdot61+5;\\ \text{в)}\;&293=10\cdot29+3;\\ \text{г)}\;&100000=3\cdot33333+1;\\ \text{д)}\;&224=100\cdot2+24;\\ \text{е)}\;&6140=78\cdot78+56;\\ \text{ж)}\;&10744=56\cdot191+48;\\ \text{з)}\;&82400=2700\cdot30+1400;\\ \text{и)}\;&70696=131\cdot539+87. \end{aligned} \]

В каждом равенстве последнее слагаемое — остаток, и оно меньше делителя. Проверка: \(bq+r=a\). Например, \(78\cdot78+56=6084+56=6140\).

Полезно запомнить. Для деления на 9 и 3 остаток можно проверить по сумме цифр: \(5+4+8=17\), а \(17\) при делении на 9 даёт остаток 8; у \(100000\) сумма цифр равна 1, поэтому остаток при делении на 3 равен 1. Для 10 остаток — последняя цифра, для 100 — две последние. Для больших чисел удобно делить уголком или подбирать \(q\) по частям: например, \(131\cdot500=65500\), остаток \(5196\); \(131\cdot39=5109\), остаток \(87\), значит \(q=539\).