Реши задание на изображении

Ответ: \(S_{CHL}=4\).

1. Так как \(AC\) — гипотенуза, а \(AB\) — катет, угол \(B\) прямой.
   \[ BC=\sqrt{AC^2-AB^2} =\sqrt{(3\sqrt{41})^2-15^2} =\sqrt{369-225}=12. \]

2. Введём координаты: \[ B(0;0),\quad A(15;0),\quad C(0;12). \] Биссектриса прямого угла \(ABC\) идёт под \(45^\circ\), поэтому её уравнение: \[ BL:\ y=x. \]

3. Найдём \(L\) как точку пересечения \(BL\) с гипотенузой \(AC\).
   Уравнение \(AC\): \[ \frac{x}{15}+\frac{y}{12}=1. \] Подставляем \(y=x\): \[ \frac{x}{15}+\frac{x}{12}=1 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{20}{3}. \] Значит, \[ L\left(\frac{20}{3};\frac{20}{3}\right). \]

4. Перпендикуляр из \(C\) к \(BL\) имеет угловой коэффициент \(-1\): \[ CH:\ y=-x+12. \] Пересекаем с \(BL:y=x\): \[ x=-x+12 \quad\Rightarrow\quad x=6. \] Значит, \[ H(6;6). \]

5. Находим длины катетов треугольника \(CHL\): \[ CH=\sqrt{(6-0)^2+(6-12)^2}=6\sqrt2, \] \[ HL=\sqrt{\left(\frac{20}{3}-6\right)^2+ \left(\frac{20}{3}-6\right)^2} =\frac{2\sqrt2}{3}. \] Тогда \[ S_{CHL}=\frac12\cdot CH\cdot HL =\frac12\cdot 6\sqrt2\cdot \frac{2\sqrt2}{3}=4. \]

Проверка: точка \(H\) действительно лежит между \(B\) и \(L\), так как \(BH=6\sqrt2\), а \(BL=\frac{20\sqrt2}{3}\), то есть \(BH<BL\). Ответ согласуется.