Реши задание на изображении
Краткий ответ (вариант 1):
- а) \(-9;\ 0;\ 9\); б) \(-3{,}4\).
- а) \(-3;\ 3;\ 4\); б) \(-1;\ 1\).
- а) \(-3;\ -1;\ 1;\ 3\); б) \(-\sqrt{3};\ \sqrt{3}\).
- \(x=\dfrac{7\pm\sqrt{33}}{2}\).
Как решать
1. а)
\[
x^3-81x=0
\]
\[
x(x^2-81)=0
\]
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
\[
x=0 \quad \text{или} \quad x^2=81
\]
\[
x=0,\quad x=\pm 9
\]
1. б)
\[
3(x-1{,}5)+2x=5(2{,}5+2x)
\]
\[
3x-4{,}5+2x=12{,}5+10x
\]
\[
5x-4{,}5=12{,}5+10x
\]
\[
-5x=17
\]
\[
x=-3{,}4
\]
2. а) Группируем: \[ x^3-4x^2-9x+36=0 \] \[ x^2(x-4)-9(x-4)=0 \] \[ (x-4)(x^2-9)=0 \] \[ x=4,\quad x=\pm 3 \]
2. б)
\[
x^6+4x^4-x^2-4=0
\]
\[
x^4(x^2+4)-(x^2+4)=0
\]
\[
(x^2+4)(x^4-1)=0
\]
Так как \(x^2+4>0\), остаётся:
\[
x^4=1
\]
\[
x=\pm 1
\]
3. а) Это биквадратное уравнение. Пусть \(t=x^2\ge 0\): \[ t^2-10t+9=0 \] \[ t=1 \quad \text{или} \quad t=9 \] Возвращаемся к \(x\): \[ x^2=1 \Rightarrow x=\pm1 \] \[ x^2=9 \Rightarrow x=\pm3 \]
3. б)
\[
x^4+6x^2-27=0
\]
Пусть \(t=x^2\ge0\):
\[
t^2+6t-27=0
\]
\[
t=3 \quad \text{или} \quad t=-9
\]
Отрицательный \(t\) не подходит, так как \(x^2\ge0\).
\[
x^2=3 \Rightarrow x=\pm\sqrt3
\]
4.
\[
\frac{5}{x-1}+\frac{30}{x+1}=5
\]
ОДЗ:
\[
x\ne1,\quad x\ne-1
\]
Умножим на \((x-1)(x+1)\):
\[
5(x+1)+30(x-1)=5(x^2-1)
\]
\[
5x+5+30x-30=5x^2-5
\]
\[
35x-25=5x^2-5
\]
\[
5x^2-35x+20=0
\]
Разделим на 5:
\[
x^2-7x+4=0
\]
\[
D=49-16=33
\]
\[
x=\frac{7\pm\sqrt{33}}{2}
\]
Оба корня не равны \(\pm1\), значит подходят.
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Похоже, речь про №2 — там \(x\) ниоткуда не «появляется», его просто выносят за скобку. Разберём это место по шагам.
№2 а) \(x^3-4x^2-9x+36=0\)
Шаг 1. Разбиваем на две пары и выносим общий множитель в каждой.
Первая пара: \(x^3-4x^2\). В обоих слагаемых есть \(x^2\): \[ x^3=x^2\cdot x,\qquad 4x^2=x^2\cdot 4 \] Поэтому \[ x^3-4x^2=x^2(x-4) \]
Вторая пара: \(-9x+36\). Выносим \(-9\), чтобы получилась такая же скобка: \[ -9x+36=-9x+9\cdot 4=-9(x-4) \] Проверка: \(-9(x-4)=-9x+36\) ✓
Шаг 2. Теперь скобка \((x-4)\) общая, выносим её: \[ x^2\underbrace{(x-4)}_{A}-9\underbrace{(x-4)}_{A}=(x-4)(x^2-9) \] Это как \(x^2A-9A=A(x^2-9)\) — обычное вынесение общего множителя, только множитель здесь не число, а целая скобка.
Шаг 3. Произведение равно нулю: \[ x-4=0 \Rightarrow x=4; \qquad x^2-9=0 \Rightarrow x=\pm3 \]
Проверка для \(x=4\): \(64-64-36+36=0\) ✓
№2 б) \(x^6+4x^4-x^2-4=0\)
\[ x^6+4x^4=x^4(x^2+4) \quad (x^6=x^4\cdot x^2) \] \[ -x^2-4=-(x^2+4) \] Здесь \(x\) как раз не появляется заново: \(x^2\) просто осталось в скобке, а минус вынесли за неё.
Обозначим \(A=(x^2+4)\): \[ x^4A-1\cdot A=(x^2+4)(x^4-1)=0 \] Так как \(x^2+4>0\) всегда, остаётся \(x^4=1\), то есть \(x^2=1\), откуда \(x=\pm1\).
Если же ты имел в виду возврат к \(x\) в №3 (там, где мы писали «пусть \(t=x^2\)»), то смысл такой: \(t\) — это временное имя для \(x^2\). Мы нашли \(t=1\) и \(t=9\), но ответ должен быть про \(x\), поэтому подставляем обратно: \(x^2=1 \Rightarrow x=\pm1\), \(x^2=9 \Rightarrow x=\pm3\).
Скажи, какое именно место осталось непонятным, — разберу ещё подробнее.
