Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ: \(x_1 = 2,\ x_2 = 3\).
Как понять принцип
Уравнение вида \(x^2 - 5x + 6 = 0\) можно разложить на множители. Ищем два числа, которые:
- в произведении дают \(6\) (свободный член),
- в сумме дают \(5\) (число, противоположное коэффициенту при \(x\)).
Это \(2\) и \(3\): \(2 \cdot 3 = 6\), \(2 + 3 = 5\).
Записываем разложение: \[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3). \]
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: \[ x - 2 = 0 \quad \text{или} \quad x - 3 = 0, \] откуда \[ x = 2 \quad \text{или} \quad x = 3. \]
Проверка подстановкой
- При \(x = 2\): \(2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\) — верно.
- При \(x = 3\): \(3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\) — верно.
Другой способ — через дискриминант
\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1, \] \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}, \] то есть \(x = 3\) и \(x = 2\). Ответ тот же.
Что запомнить: для уравнения \(x^2 + bx + c = 0\) корни удобно искать как два числа, дающие в произведении \(c\), а в сумме \(-b\). Тогда уравнение раскладывается на \((x - x_1)(x - x_2) = 0\).
