Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ:
\[
x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,\; x_2=3.
\]
Как решать:
Ищем два числа, произведение которых равно \(6\), а сумма равна \(5\). Это \(2\) и \(3\): \[ 2\cdot 3=6,\qquad 2+3=5. \]
Раскладываем квадратный трёхчлен на множители: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Получаем: \[ (x-2)(x-3)=0. \] Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0. \] Значит, \[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3. \]
Проверка:
При \(x=2\):
\[
4-10+6=0.
\]
При \(x=3\):
\[
9-15+6=0.
\]
Всё верно.
Полезный принцип: для уравнения \(x^2+px+q=0\) корни \(x_1,x_2\) удовлетворяют условиям \[ x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q. \] Здесь \(p=-5\), \(q=6\), поэтому сумма корней равна \(5\), а произведение — \(6\). Отсюда сразу находятся \(2\) и \(3\).
