Реши задание на изображении

Краткие ответы

1. а) \(-29\); б) \(-8\)
2. а) \(y^{18}\); б) \(y^8\); в) \(y^{18}\); г) \(a^5y^5\); д) \(\dfrac{y^2}{25}\)
3. \(5{,}6\cdot10^4\)
4. а) \(-8x^8y^8\); б) \(-a^{25}b^{10}\); в) \(4a^2c^8\)
5. а) \(64\); б) \(131\,072\)
6. \(15x^5y^{20}\)

Как это получается

1. Значение выражения

а)
\[ 1{,}5\cdot 8^2-5^3=1{,}5\cdot64-125=96-125=-29. \]

б)
\[ \left(\frac13x\right)^3=\left(\frac{x}{3}\right)^3. \] При \(x=-6\): \[ \left(\frac{-6}{3}\right)^3=(-2)^3=-8. \]

2. Действия со степенями

Используем правила: \[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad a^m:a^n=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{mn}. \]

• \(y^{15}\cdot y^3=y^{15+3}=y^{18}\)
• \(y^{20}:y^{12}=y^{20-12}=y^8\)
• \((y^3)^6=y^{3\cdot6}=y^{18}\)
• \((ay)^5=a^5y^5\)
• \(\left(\frac y5\right)^2=\frac{y^2}{5^2}=\frac{y^2}{25}\)

3. Стандартный вид числа

\[ 56\,000=5{,}6\cdot10^4. \] В стандартном виде перед степенью десять стоит число от 1 до 10.

4. Упрощение выражений

а)
\[ 2x^6y\cdot(-4x^2y^7)=-8x^{6+2}y^{1+7}=-8x^8y^8. \]

б)
\[ (-a^5b^2)^5=(-1)^5a^{25}b^{10}=-a^{25}b^{10}. \] Степень нечётная, поэтому знак остаётся минус.

в)
\[ (-2ac^4)^2=4a^2c^8. \] Квадрат отрицательного числа положителен.

5. Вычисление степеней

а)
\[ \frac{8^{24}}{8^{16}\cdot8^6} =\frac{8^{24}}{8^{22}} =8^2=64. \]

б)
Переведём всё к основанию 2: \[ 8^6=(2^3)^6=2^{18},\qquad 4^3=(2^2)^3=2^6. \] Тогда: \[ \frac{2^5\cdot8^6}{4^3} =\frac{2^5\cdot2^{18}}{2^6} =2^{5+18-6}=2^{17}=131\,072. \]

6. Упрощение выражения

Переведём смешанные числа в неправильные дроби: \[ -1\frac23=-\frac53,\qquad 5\frac25=\frac{27}{5}. \]

\[ \left(-1\frac23xy^5\right)^2\cdot5\frac25x^3y^{10} = \left(-\frac53\right)^2x^2y^{10}\cdot\frac{27}{5}x^3y^{10}. \]

Считаем коэффициент: \[ \frac{25}{9}\cdot\frac{27}{5}=5\cdot3=15. \]

Степени: \[ x^2\cdot x^3=x^5,\qquad y^{10}\cdot y^{10}=y^{20}. \]

Ответ: \[ \boxed{15x^5y^{20}}. \]