Реши задание на изображении

Краткий ответ

а) График \(f(x)=|x^2-2x|\) получается из параболы \(y=x^2-2x\): её часть между корнями \(0\) и \(2\) отражается вверх от оси \(Ox\).

\[ f(x)= \begin{cases} x^2-2x, & x\le 0\ \text{или}\ x\ge 2,\\ -x^2+2x, & 0\le x\le 2. \end{cases} \]

Ключевые точки: \((-1;3)\), \((0;0)\), \((1;1)\), \((2;0)\), \((3;3)\).
График похож на «W»: две нижние точки \((0;0)\) и \((2;0)\), между ними подъём до \((1;1)\). Область значений: \([0;+\infty)\).

б) График \(f(x)=x^2-2|x|\) симметричен относительно оси \(Oy\).

\[ f(x)= \begin{cases} x^2+2x=(x+1)^2-1, & x<0,\\ x^2-2x=(x-1)^2-1, & x\ge 0. \end{cases} \]

Ключевые точки: \((-2;0)\), \((-1;-1)\), \((0;0)\), \((1;-1)\), \((2;0)\).
Область значений: \([-1;+\infty)\).

Как рассуждать

1. Сначала строим обычную параболу
   \[ y=x^2-2x=(x-1)^2-1. \] Её вершина — \((1;-1)\), корни — \(0\) и \(2\).

2. В пункте а) модуль стоит снаружи: \(|x^2-2x|\).
   Там, где \(x^2-2x<0\), то есть при \(0<x<2\), график отражается вверх. Поэтому «яма» параболы превращается в дугу с вершиной \((1;1)\).

3. В пункте б) модуль стоит у \(x\): \(x^2-2|x|\).
   Поэтому функция чётная: \[ f(-x)=(-x)^2-2|-x|=x^2-2|x|=f(x). \] Достаточно построить правую часть при \(x\ge0\), а затем зеркально отразить её относительно оси \(Oy\).

Проверка по точкам

\[ \begin{array}{c|ccccc} x & -1 & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline |x^2-2x| & 3 & 0 & 1 & 0 & 3 \end{array} \]

\[ \begin{array}{c|ccccc} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2\\ \hline x^2-2|x| & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 \end{array} \]

Главное правило: \(|g(x)|\) — отражаем вверх части графика ниже оси \(Ox\); \(g(|x|)\) — график становится симметричным относительно оси \(Oy\), если \(g\) определена при всех \(x\).