Реши задание на изображении
Кратко
- \(a\in(-\infty;-1)\cup(-1;2)\cup(2;+\infty)\); дробь равна нулю при \(a=0\).
- После сокращения: \(\dfrac{x-y}{x+2y}\); при \(x=1{,}2,\ y=-0{,}1\) значение равно \(1{,}3\).
- \(4\).
- \(\dfrac12\).
- \(n=-7,-3,-1,3\); при этом \(A=-9\) или \(A=3\).
- \(y=\dfrac4x,\ x\ne0\); значения функции неположительны при \(x<0\).
1. Допустимые значения и нули дроби
\[ \frac{a^2-2a}{a^2-a-2} =\frac{a(a-2)}{(a-2)(a+1)} \]
Знаменатель не равен нулю:
\[ (a-2)(a+1)\ne0 \Rightarrow a\ne2,\quad a\ne-1 \]
То есть допустимые \(a\) — все числа, кроме \(-1\) и \(2\).
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет:
\[ a(a-2)=0 \Rightarrow a=0 \text{ или } a=2 \]
Но \(a=2\) недопустимо. Остаётся:
\[ \boxed{a=0} \]
Даже если сократить на \(a-2\), надо помнить, что при \(a=2\) исходная дробь не существует.
2. Сокращение дроби
Числитель:
\[ ax-ay-bx+by=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y) \]
Знаменатель:
\[ ax-bx+2ay-2by=x(a-b)+2y(a-b)=(a-b)(x+2y) \]
Поэтому при \(a\ne b\):
\[ \frac{(a-b)(x-y)}{(a-b)(x+2y)} =\frac{x-y}{x+2y} \]
Подставляем \(x=1{,}2,\ y=-0{,}1\):
\[ \frac{1{,}2-(-0{,}1)}{1{,}2+2\cdot(-0{,}1)} =\frac{1{,}3}{1{,}2-0{,}2} =\frac{1{,}3}{1} =1{,}3 \]
Ответ:
\[ \boxed{1{,}3} \]
3. Упрощение выражения
Сначала вычислим выражение в скобках:
\[ \frac{a+b}{a-b}-\frac{a-b}{a+b} = \frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{a^2-b^2} \]
Разность квадратов:
\[ (a+b)^2-(a-b)^2=4ab \]
Значит:
\[ \left(\frac{a+b}{a-b}-\frac{a-b}{a+b}\right) = \frac{4ab}{a^2-b^2} \]
Теперь делим на \(\dfrac{ab}{a^2-b^2}\):
\[ \frac{4ab}{a^2-b^2}\cdot\frac{a^2-b^2}{ab}=4 \]
Ответ:
\[ \boxed{4} \]
При допустимых значениях \(a\ne\pm b\) и \(ab\ne0\).
4. Используем данное равенство
Дано:
\[ \frac{2a-b}{a+b}=1 \]
Тогда:
\[ 2a-b=a+b \]
\[ 2a-a=b+b \]
\[ a=2b \]
Подставляем в искомую дробь:
\[ \frac{3a-4b}{a+2b} = \frac{3\cdot2b-4b}{2b+2b} = \frac{6b-4b}{4b} = \frac{2b}{4b} = \frac12 \]
Ответ:
\[ \boxed{\frac12} \]
5. Целые значения выражения
\[ A=\frac{n^2+n+3}{n+2} \]
Выделим целую часть:
\[ n^2+n+3=(n+2)(n-1)+5 \]
Поэтому:
\[ A=n-1+\frac{5}{n+2} \]
Чтобы \(A\) было целым, дробь \(\dfrac{5}{n+2}\) должна быть целой. Значит, \(n+2\) — делитель числа \(5\):
\[ n+2\in\{1,-1,5,-5\} \]
Отсюда:
\[ n=-1,\ -3,\ 3,\ -7 \]
Значения \(A\):
- \(n=-1\): \(A=3\);
- \(n=3\): \(A=3\);
- \(n=-3\): \(A=-9\);
- \(n=-7\): \(A=-9\).
Ответ:
\[ \boxed{n=-7,-3,-1,3;\quad A=-9 \text{ или } 3} \]
6. График и знак функции
Упростим числитель:
\[ (x+2)^2-(x-2)^2 = \bigl((x+2)-(x-2)\bigr)\bigl((x+2)+(x-2)\bigr) \]
\[ =4\cdot2x=8x \]
Тогда:
\[ y=\frac{8x}{2x^2}=\frac4x,\qquad x\ne0 \]
График — гипербола \(y=\dfrac4x\), две ветви в I и III координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами.
Значения функции неположительны:
\[ \frac4x\le0 \]
Так как \(4>0\), это возможно только при:
\[ x<0 \]
Ответ:
\[ \boxed{y=\frac4x,\ x<0} \]
