59номер
Краткие ответы (№59):
а) \(x\in(-\infty,-7)\cup\left(\frac12,+\infty\right)\)
б) \(x\in\left[-\frac92;\,2\right]\)
в) \(x\in(-\infty,-1)\cup\left(\frac92,+\infty\right)\)
г) \(x\ne \frac14\), то есть \(x\in(-\infty,\frac14)\cup(\frac14,+\infty)\)
д) \(x\ne \frac13\)
е) \(x=\frac16\)
ж) \(x\in\left(-\frac32;\,1\right)\)
з) \(x\in(-\infty,-4)\cup(2,+\infty)\)
Как решать такие неравенства
- Перенеси всё в одну сторону, раскрой скобки и приведи подобные.
- Получится квадратное неравенство вида
\[ ax^2+bx+c>0 \quad \text{или } <0. \] - Найди корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\).
- Если \(a>0\), парабола ветвями вверх:
- выражение \(>0\) вне корней;
- выражение \(<0\) между корнями.
- Если \(a<0\), можно умножить неравенство на \(-1\), поменяв знак неравенства.
Что получается после упрощения
| Пункт | Упрощённое неравенство | Корни |
|---|---|---|
| а | \(2x^2+13x-7>0\) | \(-7;\ \frac12\) |
| б | \(2x^2+5x-18\le0\) | \(-\frac92;\ 2\) |
| в | \(2x^2-7x-9>0\) | \(-1;\ \frac92\) |
| г | \((4x-1)^2>0\) | \(\frac14\) |
| д | \(2\left(x-\frac13\right)^2>0\) | \(\frac13\) |
| е | \(7\left(\frac16-x\right)^2\le0\) | \(\frac16\) |
| ж | \(2x^2+x-3<0\) | \(-\frac32;\ 1\) |
| з | \(x^2+2x-8>0\) | \(-4;\ 2\) |
В пунктах г и д квадрат всегда неотрицателен, поэтому строгое неравенство \(>0\) выполняется для всех \(x\), кроме того значения, при котором квадрат равен нулю.
В пункте е квадрат не может быть меньше нуля, а \(\le0\) возможно только при равенстве нулю: \[ \frac16-x=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac16. \]
Пример для а: \[ 2x^2+13x-7>0 \] Корни: \(-7\) и \(\frac12\). Так как ветви параболы направлены вверх, положительна она вне корней: \[ x<-7 \quad\text{или}\quad x>\frac12. \]
Проверка выборочно:
В а) при \(x=0\): \(-7>0\) неверно, значит \(0\) не входит; при \(x=1\): \(10>2\) верно.
В г) при \(x=\frac14\) исходное неравенство даёт равенство, поэтому точка исключена.
Обсуждение
2 сообщенияТоисть реши
Да, вот подробное решение каждого неравенства из №59.
Общее правило:
если коэффициент при \(x^2\) положителен, то парабола направлена ветвями вверх:
- \(>0\) — берём вне корней;
- \(<0\) — берём между корнями.
а) \(2x^2+13x-7>0\)
\[ D=13^2-4\cdot2\cdot(-7)=169+56=225=15^2 \]
\[ x_{1,2}=\frac{-13\pm15}{4} \]
\[ x_1=-7,\qquad x_2=\frac12 \]
Так как знак \(>\), берём вне корней:
\[ \boxed{x\in(-\infty;-7)\cup\left(\frac12;+\infty\right)} \]
б) \(2x^2+5x-18\le0\)
\[ D=25-4\cdot2\cdot(-18)=25+144=169=13^2 \]
\[ x_{1,2}=\frac{-5\pm13}{4} \]
\[ x_1=-\frac92,\qquad x_2=2 \]
Знак \(\le\), значит берём между корнями, корни включаем:
\[ \boxed{x\in\left[-\frac92;\,2\right]} \]
в) \(2x^2-7x-9>0\)
\[ D=49-4\cdot2\cdot(-9)=49+72=121=11^2 \]
\[ x_{1,2}=\frac{7\pm11}{4} \]
\[ x_1=-1,\qquad x_2=\frac92 \]
Знак \(>\), берём вне корней:
\[ \boxed{x\in(-\infty;-1)\cup\left(\frac92;+\infty\right)} \]
г) \((4x-1)^2>0\)
Квадрат всегда неотрицателен. Он равен нулю только при
\[ 4x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac14 \]
Поэтому строго больше нуля выражение при всех \(x\), кроме \(\frac14\):
\[ \boxed{x\ne\frac14} \]
или
\[ \boxed{x\in\left(-\infty;\frac14\right)\cup\left(\frac14;+\infty\right)} \]
д) \(2\left(x-\frac13\right)^2>0\)
Квадрат равен нулю при
\[ x=\frac13 \]
Во всех остальных точках он положителен:
\[ \boxed{x\ne\frac13} \]
или
\[ \boxed{x\in\left(-\infty;\frac13\right)\cup\left(\frac13;+\infty\right)} \]
е) \(7\left(\frac16-x\right)^2\le0\)
Квадрат не может быть меньше нуля. Он может быть только равен нулю:
\[ \frac16-x=0 \]
\[ \boxed{x=\frac16} \]
ж) \(2x^2+x-3<0\)
\[ D=1-4\cdot2\cdot(-3)=1+24=25=5^2 \]
\[ x_{1,2}=\frac{-1\pm5}{4} \]
\[ x_1=-\frac32,\qquad x_2=1 \]
Знак \(<\), берём между корнями:
\[ \boxed{x\in\left(-\frac32;\,1\right)} \]
з) \(x^2+2x-8>0\)
\[ D=4-4\cdot1\cdot(-8)=4+32=36=6^2 \]
\[ x_{1,2}=\frac{-2\pm6}{2} \]
\[ x_1=-4,\qquad x_2=2 \]
Знак \(>\), берём вне корней:
\[ \boxed{x\in(-\infty;-4)\cup(2;+\infty)} \]
Итог:
\[ \boxed{ \begin{aligned} &а)\ (-\infty;-7)\cup\left(\frac12;+\infty\right)\\ &б)\ \left[-\frac92;2\right]\\ &в)\ (-\infty;-1)\cup\left(\frac92;+\infty\right)\\ &г)\ x\ne\frac14\\ &д)\ x\ne\frac13\\ &е)\ x=\frac16\\ &ж)\ \left(-\frac32;1\right)\\ &з)\ (-\infty;-4)\cup(2;+\infty) \end{aligned} } \]
