Номер 300 — полное решение

Задание: построить графики функций а) \(y=3x\); б) \(y=-1{,}5x\); в) \(y=x\); г) \(y=-x\); д) \(y=2{,}5x\); е) \(y=-4{,}5x\).

1. Общая теория (на чём держится всё решение)

Все шесть функций имеют вид \(y=kx\) — это прямая пропорциональность. Её график:

• всегда прямая линия;
• всегда проходит через начало координат \(O(0;0)\), так как при \(x=0\) и \(y=0\);
• поэтому для построения достаточно одной дополнительной точки (а не двух, как обычно);
• знак \(k\) задаёт направление: \(k>0\) — прямая идёт в I и III четверти (возрастает), \(k<0\) — во II и IV четверти (убывает);
• \(|k|\) задаёт крутизну: чем больше модуль, тем ближе прямая к оси \(Oy\).

2. Таблица значений (для проверки построения)

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
а) \(y=3x\)	\(-6\)	\(-3\)	\(0\)	\(3\)	\(6\)
б) \(y=-1{,}5x\)	\(3\)	\(1{,}5\)	\(0\)	\(-1{,}5\)	\(-3\)
в) \(y=x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
г) \(y=-x\)	\(2\)	\(1\)	\(0\)	\(-1\)	\(-2\)
д) \(y=2{,}5x\)	\(-5\)	\(-2{,}5\)	\(0\)	\(2{,}5\)	\(5\)
е) \(y=-4{,}5x\)	\(9\)	\(4{,}5\)	\(0\)	\(-4{,}5\)	\(-9\)

3. Построение каждой прямой

а) \(y=3x\). Берём \(x=1\), получаем \(y=3\). Точки: \(O(0;0)\) и \(A(1;3)\). Проводим прямую через них. Прямая лежит в I и III четвертях, идёт круто вверх.

б) \(y=-1{,}5x\). Берём \(x=2\), получаем \(y=-1{,}5\cdot 2=-3\). Точки: \(O(0;0)\) и \(B(2;-3)\). Прямая во II и IV четвертях, убывает.

в) \(y=x\). Берём \(x=1\), получаем \(y=1\). Точки: \(O(0;0)\) и \(C(1;1)\). Это биссектриса I и III координатных углов — наклон \(45^\circ\), проходит через все точки вида \((a;a)\).

г) \(y=-x\). Берём \(x=1\), получаем \(y=-1\). Точки: \(O(0;0)\) и \(D(1;-1)\). Это биссектриса II и IV координатных углов, проходит через точки вида \((a;-a)\).

д) \(y=2{,}5x\). Берём \(x=2\), получаем \(y=5\). Точки: \(O(0;0)\) и \(E(2;5)\). Прямая в I и III четвертях, круче, чем \(y=x\), но менее крутая, чем \(y=3x\).

е) \(y=-4{,}5x\). Берём \(x=2\), получаем \(y=-4{,}5\cdot 2=-9\). Точки: \(O(0;0)\) и \(F(2;-9)\). Прямая во II и IV четвертях — самая крутая из убывающих в этом номере.

Совет по масштабу: для пункта е) точка \((2;-9)\) требует 9 клеток по оси \(Oy\). Если тетрадь маленькая, возьмите \(x=1\) и точку \((1;-4{,}5)\) — этого хватит, прямая всё равно однозначно задана.

4. Проверка

Проверка делается подстановкой: точка лежит на графике, если при подстановке её координат в формулу получается верное равенство.

• \(A(1;3)\): \(3=3\cdot 1\) — верно;
• \(B(2;-3)\): \(-3=-1{,}5\cdot 2=-3\) — верно;
• \(C(1;1)\): \(1=1\) — верно;
• \(D(1;-1)\): \(-1=-1\) — верно;
• \(E(2;5)\): \(5=2{,}5\cdot 2=5\) — верно;
• \(F(2;-9)\): \(-9=-4{,}5\cdot 2=-9\) — верно.

Дополнительно: у всех шести прямых свободный член равен нулю, поэтому все они проходят через \(O(0;0)\) и пересекаются в этой одной точке. Никакие две из них не совпадают (коэффициенты разные), ни одна не перпендикулярна другой (для перпендикулярности нужно \(k_1\cdot k_2=-1\), а здесь таких пар нет).

5. Итоговый ответ

Функция	Две точки для построения	Четверти	Поведение
\(y=3x\)	\((0;0)\), \((1;3)\)	I, III	возрастает
\(y=-1{,}5x\)	\((0;0)\), \((2;-3)\)	II, IV	убывает
\(y=x\)	\((0;0)\), \((1;1)\)	I, III	возрастает, биссектриса
\(y=-x\)	\((0;0)\), \((1;-1)\)	II, IV	убывает, биссектриса
\(y=2{,}5x\)	\((0;0)\), \((2;5)\)	I, III	возрастает
\(y=-4{,}5x\)	\((0;0)\), \((2;-9)\)	II, IV	убывает, самая крутая

Все шесть графиков — прямые, проходящие через начало координат.

Если нужно, могу разобрать, как по графику находить значение \(y\) по заданному \(x\) (и наоборот) — это обычно следующее задание после №300.

Решение «через уравнение», как оформляют в классе

Главная идея: \(y=kx\) — это уравнение, а не просто «формула для подстановки». Поэтому любую задачу про график сводят к решению уравнения относительно \(x\) или \(y\). Коэффициент \(k\) называют коэффициентом пропорциональности.

1. Как находить \(k\) уравнением

Если известно, что график проходит через точку \((x_0;y_0)\), подставляем её координаты в \(y=kx\) и решаем уравнение относительно \(k\):

\[ y_0=kx_0 \quad\Rightarrow\quad k=\frac{y_0}{x_0}\quad (x_0\neq 0) \]

Пример: прямая пропорциональность проходит через \((-2;5)\):

\[ 5=k\cdot(-2)\ \Rightarrow\ k=5:(-2)=-2{,}5\ \Rightarrow\ y=-2{,}5x \]

А для наших шести функций \(k\) уже дан: \(3;\ -1{,}5;\ 1;\ -1;\ 2{,}5;\ -4{,}5\).

2. Построение: вторую точку получаем из уравнения

Первую точку даёт само уравнение: при \(x=0\)

\[ kx=0\ \Rightarrow\ x=0,\qquad y=k\cdot 0=0, \]

то есть \(O(0;0)\) — решение уравнения есть у всех шести функций. Вторую точку ищем, задавая удобное \(y\) и решая уравнение \(kx=y\):

Функция	Решаем уравнение	Получаем \(x\)	Точка
а) \(y=3x\)	\(3x=6\)	\(x=2\)	\((2;6)\)
б) \(y=-1{,}5x\)	\(-1{,}5x=3\)	\(x=-2\)	\((-2;3)\)
в) \(y=x\)	\(x=4\)	\(x=4\)	\((4;4)\)
г) \(y=-x\)	\(-x=4\)	\(x=-4\)	\((-4;4)\)
д) \(y=2{,}5x\)	\(2{,}5x=5\)	\(x=2\)	\((2;5)\)
е) \(y=-4{,}5x\)	\(-4{,}5x=9\)	\(x=-2\)	\((-2;9)\)

Образец записи в тетради (пункт а):

№ 300. а) \(y=3x\). График — прямая, проходящая через \(O(0;0)\), так как уравнение \(3x=0\) имеет решение \(x=0\). Вторая точка: \(3x=6\Rightarrow x=2\), значит \((2;6)\). Строим прямую через \((0;0)\) и \((2;6)\).

3. Принадлежит ли точка графику — тоже уравнение

Вместо «подставить и посчитать» оформляем так: решаем уравнение \(kx=y_0\) и смотрим, совпало ли \(x\) с абсциссой точки.

• \(A(-2;-6)\) и \(y=3x\): \(3x=-6\Rightarrow x=-2\) — совпало, принадлежит.
• \(B(1;-3)\) и \(y=-1{,}5x\): \(-1{,}5x=-3\Rightarrow x=2\neq 1\) — не принадлежит.

Обрати внимание: при \(k\neq 0\) уравнение \(kx=y_0\) имеет единственное решение, поэтому через каждую точку с \(x\neq0\) проходит ровно одна такая прямая.

4. Точка пересечения двух графиков — система уравнений

Пункт, который часто спрашивают следом: пересекаются ли \(y=3x\) и \(y=-1{,}5x\)? Приравниваем правые части:

\[ 3x=-1{,}5x\ \Rightarrow\ 3x+1{,}5x=0\ \Rightarrow\ 4{,}5x=0\ \Rightarrow\ x=0,\quad y=3\cdot0=0 \]

Ответ: \((0;0)\). Так же для любой пары:

\[ kx=k_1x\ \Rightarrow\ (k-k_1)x=0\ \Rightarrow\ x=0 \]

Поскольку все \(k\) различны, \(k-k_1\neq0\), и единственное решение всегда \(x=0\). Отсюда и вывод: все шесть прямых проходят через начало координат и других общих точек не имеют.

5. Где график выше — неравенство

Сравним \(y=3x\) и \(y=2{,}5x\):

\[ 3x>2{,}5x\ \Rightarrow\ 0{,}5x>0\ \Rightarrow\ x>0 \]

Значит при \(x>0\) прямая \(y=3x\) лежит выше, при \(x<0\) — ниже, а в точке \(x=0\) они пересекаются.

6. Знак \(y\) — тоже решается уравнением и неравенством

Для \(y=3x\): \(y=0\) при \(x=0\); \(y>0\) при \(3x>0\), то есть \(x>0\); \(y<0\) при \(x<0\). Для \(y=-4{,}5x\) наоборот: \(y>0\) при \(x<0\). Отсюда и правило про четверти: \(k>0\) — I и III, \(k<0\) — II и IV.

---

Если в классе оформляют иначе (например, требуют обязательно таблицу \(x\) и \(y\) из двух-трёх столбцов или запись «функция задана формулой…»), покажи образец записи из тетради — подгоню оформление под ваш шаблон.

Пункты д) и е) — решение через уравнение

Оформляем так же, как в классе: график задан уравнением \(y=kx\), точки ищем, решая уравнения относительно \(x\) или \(y\).

д) \(y=2{,}5x\)

1. Начало координат — решение уравнения. При \(x=0\): \[ y=2{,}5\cdot 0=0 \;\Rightarrow\; O(0;0). \] Проверка через уравнение: \(2{,}5x=0 \Rightarrow x=0\) — решение единственное, значит прямая проходит через начало координат.

2. Вторая точка — задаём \(y\) и решаем уравнение. Возьмём \(y=5\): \[ 2{,}5x=5 \;\Rightarrow\; x=\frac{5}{2{,}5}=2. \] Получили точку \((2;5)\).

3. Проверка подстановкой. \[ 2{,}5\cdot 2=5 \quad\text{— верно.} \]

4. Строим прямую через \(O(0;0)\) и \((2;5)\).

5. Свойства через уравнения и неравенства.

• \(k=2{,}5>0\) — функция возрастает, график в I и III четвертях;
• \(y=0\) при \(2{,}5x=0 \Rightarrow x=0\);
• \(y>0\) при \(2{,}5x>0 \Rightarrow x>0\);
• \(y<0\) при \(2{,}5x<0 \Rightarrow x<0\).

Образец записи в тетради:

д) \(y=2{,}5x\). \(2{,}5x=0 \Rightarrow x=0\) — точка \(O(0;0)\). \(2{,}5x=5 \Rightarrow x=2\) — точка \((2;5)\). График — прямая через \((0;0)\) и \((2;5)\).

е) \(y=-4{,}5x\)

1. Начало координат. При \(x=0\): \[ y=-4{,}5\cdot 0=0 \;\Rightarrow\; O(0;0) \] (уравнение \(-4{,}5x=0\) даёт \(x=0\)).

2. Вторая точка — задаём \(y\) и решаем уравнение. Возьмём \(y=9\): \[ -4{,}5x=9 \;\Rightarrow\; x=\frac{9}{-4{,}5}=-2. \] Получили точку \((-2;9)\).

Можно взять и \(y=-9\): \[ -4{,}5x=-9 \;\Rightarrow\; x=2 \;\Rightarrow\; (2;-9). \]

3. Проверка подстановкой. \[ -4{,}5\cdot(-2)=9 \quad\text{— верно.} \]

4. Строим прямую через \(O(0;0)\) и \((-2;9)\) (или \((2;-9)\)).

5. Свойства через уравнения и неравенства.

• \(k=-4{,}5<0\) — функция убывает, график во II и IV четвертях;
• \(y=0\) при \(x=0\);
• \(y>0\) при \(-4{,}5x>0 \Rightarrow x<0\);
• \(y<0\) при \(-4{,}5x<0 \Rightarrow x>0\).

Образец записи в тетради:

е) \(y=-4{,}5x\). \(-4{,}5x=0 \Rightarrow x=0\) — точка \(O(0;0)\). \(-4{,}5x=9 \Rightarrow x=-2\) — точка \((-2;9)\). График — прямая через \((0;0)\) и \((-2;9)\).

Если в задании дана точка, а не формула

Тогда \(k\) тоже находят из уравнения \(y_0=kx_0\):

• для д), если известна точка \((2;5)\): \(\;k=\dfrac{5}{2}=2{,}5\);
• для е), если известна точка \((-2;9)\): \(\;k=\dfrac{9}{-2}=-4{,}5\).

Проверка взаимного расположения д) и е)

Приравняем правые части: \[ 2{,}5x=-4{,}5x \;\Rightarrow\; 2{,}5x+4{,}5x=0 \;\Rightarrow\; 7x=0 \;\Rightarrow\; x=0,\quad y=0. \] Единственная общая точка — \(O(0;0)\), то есть прямые пересекаются в начале координат и больше нигде.

А ещё из неравенства \(2{,}5x>-4{,}5x \Rightarrow 7x>0 \Rightarrow x>0\) следует: при \(x>0\) прямая д) лежит выше прямой е), при \(x<0\) — наоборот.

Если нужно, могу так же расписать остальные пункты (а–г) в этом «уравненческом» оформлении или сделать сводную таблицу уравнений для всех шести функций.

Пункты д) и е) — решение через уравнение

Функции: д) \(y=2{,}5x\); е) \(y=-4{,}5x\). Работаем с ними как с уравнениями: \(2{,}5x=y\) и \(-4{,}5x=y\).

1. Откуда берётся коэффициент \(k\) (уравнение с неизвестным \(k\))

д) Пусть прямая пропорциональность проходит через точку \((2;5)\). Подставляем координаты в \(y=kx\):

\[ 5=k\cdot 2\ \Rightarrow\ k=5:2=2{,}5\ \Rightarrow\ y=2{,}5x \]

е) Пусть проходит через \((-2;9)\):

\[ 9=k\cdot(-2)\ \Rightarrow\ k=9:(-2)=-4{,}5\ \Rightarrow\ y=-4{,}5x \]

Так в классе и получают формулы пунктов д) и е): коэффициент находят из уравнения.

2. Построение: обе точки — из уравнений

Первая точка. Решаем \(2{,}5x=0\) и \(-4{,}5x=0\). Так как коэффициент не равен нулю, делим на него:

\[ 2{,}5x=0\Rightarrow x=0,\quad -4{,}5x=0\Rightarrow x=0 \]

Значит \(y=0\), точка \(O(0;0)\) — общая для обеих прямых.

Вторая точка. Задаём удобное \(y\) и решаем уравнение:

Пункт	Уравнение	Решение	Точка
д)	\(2{,}5x=5\)	\(x=5:2{,}5=2\)	\((2;5)\)
е)	\(-4{,}5x=9\)	\(x=9:(-4{,}5)=-2\)	\((-2;9)\)

Образец записи в тетради:

д) \(y=2{,}5x\). График — прямая через \(O(0;0)\), т. к. \(2{,}5x=0\Rightarrow x=0\). Вторая точка: \(2{,}5x=5\Rightarrow x=2\), т. е. \((2;5)\). Строим прямую через \((0;0)\) и \((2;5)\); \(k>0\), прямая в I и III четвертях.

е) \(y=-4{,}5x\). Аналогично: \(O(0;0)\) и \((-2;9)\). \(k<0\), прямая во II и IV четвертях.

Замечание про масштаб: точка \((-2;9)\) — высоко. Можно взять \(x=-1\): \(-4{,}5\cdot(-1)=4{,}5\), точка \((-1;4{,}5)\). Прямая задаётся однозначно, поэтому годится любая пара.

3. Принадлежит ли точка графику — проверяем уравнением

д) Точка \((4;10)\): \(2{,}5x=10\Rightarrow x=4\) — совпало, принадлежит. Точка \((3;7)\): \(2{,}5x=7\Rightarrow x=2{,}8\neq 3\) — не принадлежит.

е) Точка \((2;-9)\): \(-4{,}5x=-9\Rightarrow x=2\) — принадлежит. Точка \((1;4{,}5)\): \(-4{,}5x=4{,}5\Rightarrow x=-1\neq 1\) — не принадлежит.

4. Найти \(x\) по известному \(y\) — то же уравнение

д) Если \(y=12\): \(2{,}5x=12\Rightarrow x=12:2{,}5=4{,}8\).

е) Если \(y=12\): \(-4{,}5x=12\Rightarrow x=12:(-4{,}5)=-\dfrac{12}{4{,}5}=-\dfrac{8}{3}\approx-2{,}67\).

5. Знак \(y\) — неравенства

д) \(y=0\) при \(x=0\); \(y>0\) при \(2{,}5x>0\), т. е. \(x>0\); \(y<0\) при \(x<0\).

е) \(y>0\) при \(-4{,}5x>0\), т. е. \(x<0\); \(y<0\) при \(x>0\).

Отсюда правило четвертей: у д) \(k=2{,}5>0\) — I и III; у е) \(k=-4{,}5<0\) — II и IV.

6. Пересечение прямых д) и е) — система уравнений

\[ 2{,}5x=-4{,}5x\ \Rightarrow\ 2{,}5x+4{,}5x=0\ \Rightarrow\ 7x=0\ \Rightarrow\ x=0,\quad y=2{,}5\cdot0=0 \]

Единственная общая точка — \(O(0;0)\). Других нет, потому что уравнение \((2{,}5+4{,}5)x=0\) даёт только \(x=0\).

Где какая прямая выше: \(2{,}5x>-4{,}5x\Rightarrow 7x>0\Rightarrow x>0\) — при \(x>0\) прямая д) лежит выше, при \(x<0\) — ниже.

7. Крутизна — сравнение коэффициентов

\(|-4{,}5|>|2{,}5|\), значит прямая е) круче (сильнее наклонена к оси \(Oy\)): при одном и том же \(x\) отклонение по \(y\) у неё больше. Если сравнить с \(y=x\): \(2{,}5>1\) — д) круче, чем биссектриса.

Итог по д) и е)

	д) \(y=2{,}5x\)	е) \(y=-4{,}5x\)
Точки для построения	\((0;0)\), \((2;5)\)	\((0;0)\), \((-2;9)\)
Четверти	I, III	II, IV
Поведение	возрастает	убывает
\(y=0\)	\(x=0\)	\(x=0\)
\(y>0\) при	\(x>0\)	\(x<0\)

Если нужно, покажу так же «через уравнение» проверку по контрольной точке: подстановку произвольного \(x\) и сверку с графиком.

Пожалуйста! Рад, что разобрались. Если появятся вопросы по графикам или другим заданиям — обращайся.