Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. \(A_1A_2=\sqrt{14}\approx 3{,}74\).
2. Угол между направленными рёбрами \(A_1A_2\) и \(A_1A_4\): \[ \cos\varphi=-\frac{\sqrt{42}}9,\qquad \varphi\approx136{,}1^\circ. \] Если нужен острый угол между прямыми, то \(43{,}9^\circ\).
3. Угол между \(A_1A_4\) и плоскостью \(A_1A_2A_3\): \[ \sin\alpha=\frac{11}{\sqrt{303}},\qquad \alpha\approx39{,}2^\circ. \]
4. \(S_{A_1A_2A_3}=\dfrac{\sqrt{101}}2\approx5{,}02\).
5. \(V_{A_1A_2A_3A_4}=\dfrac{11}{2}=5{,}5\).
6. Прямая \(A_1A_2\): \[ \frac{x-1}{-3}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{2}. \]
7. Плоскость \(A_1A_2A_3\): \[ 6x+4y+7z-9=0. \]
8. Высота из \(A_4\) на плоскость \(A_1A_2A_3\): \[ \frac{x-2}{6}=\frac{y+2}{4}=\frac{z+4}{7}. \] Её длина: \(\dfrac{33}{\sqrt{101}}\approx3{,}28\).

---

Как это получается

Берём векторы из вершины \(A_1\):

\[ \vec{A_1A_2}=A_2-A_1=(-3;1;2), \] \[ \vec{A_1A_3}=A_3-A_1=(1;2;-2), \] \[ \vec{A_1A_4}=A_4-A_1=(1;-1;-5). \]

1. Длина \(A_1A_2\)

\[ A_1A_2=\sqrt{(-3)^2+1^2+2^2} =\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}. \]

2. Угол между \(A_1A_2\) и \(A_1A_4\)

Используем скалярное произведение:

\[ \cos\varphi= \frac{\vec{A_1A_2}\cdot\vec{A_1A_4}} {|\vec{A_1A_2}|\,|\vec{A_1A_4}|}. \]

Считаем:

\[ (-3;1;2)\cdot(1;-1;-5) =-3-1-10=-14, \] \[ |\vec{A_1A_4}|=\sqrt{1+1+25}=\sqrt{27}=3\sqrt3. \]

Тогда

\[ \cos\varphi= \frac{-14}{\sqrt{14}\sqrt{27}} =-\frac{\sqrt{42}}9. \]

Значит,

\[ \varphi\approx136{,}1^\circ. \]

Если речь именно об остром угле между прямыми, то он равен
\[ 180^\circ-136{,}1^\circ=43{,}9^\circ. \]

3. Угол между \(A_1A_4\) и плоскостью \(A_1A_2A_3\)

Сначала найдём нормальный вектор плоскости:

\[ \vec n=\vec{A_1A_2}\times\vec{A_1A_3}. \]

\[ \vec n= \begin{vmatrix} \mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ -3&1&2\\ 1&2&-2 \end{vmatrix} =(-6;-4;-7). \]

Для удобства можно взять \(\vec n=(6;4;7)\).

Угол между прямой и плоскостью ищется через синус:

\[ \sin\alpha= \frac{|\vec{A_1A_4}\cdot\vec n|} {|\vec{A_1A_4}|\,|\vec n|}. \]

\[ \vec{A_1A_4}\cdot\vec n =1\cdot6+(-1)\cdot4+(-5)\cdot7 =6-4-35=-33. \]

\[ \sin\alpha= \frac{33}{\sqrt{27}\sqrt{101}} =\frac{11}{\sqrt{303}}. \]

\[ \alpha=\arcsin\frac{11}{\sqrt{303}} \approx39{,}2^\circ. \]

Принцип: нормаль перпендикулярна плоскости, поэтому угол с плоскостью дополняет угол с нормалью до \(90^\circ\), и появляется синус.

4. Площадь грани \(A_1A_2A_3\)

Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения:

\[ S=\frac12|\vec{A_1A_2}\times\vec{A_1A_3}|. \]

Мы уже нашли:

\[ \vec{A_1A_2}\times\vec{A_1A_3}=(-6;-4;-7), \]

\[ |(-6;-4;-7)|=\sqrt{36+16+49}=\sqrt{101}. \]

Значит,

\[ S=\frac{\sqrt{101}}2. \]

5. Объём пирамиды

Объём тетраэдра:

\[ V=\frac16\left| (\vec{A_1A_2}\times\vec{A_1A_3})\cdot\vec{A_1A_4} \right|. \]

Считаем смешанное произведение:

\[ (-6;-4;-7)\cdot(1;-1;-5) =-6+4+35=33. \]

\[ V=\frac{33}{6}=\frac{11}{2}=5{,}5. \]

6. Уравнение прямой \(A_1A_2\)

Прямая проходит через \(A_1=(1;-1;1)\), направляющий вектор:

\[ \vec s=\vec{A_1A_2}=(-3;1;2). \]

Каноническое уравнение:

\[ \frac{x-1}{-3}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{2}. \]

Параметрически:

\[ \begin{cases} x=1-3t,\\ y=-1+t,\\ z=1+2t. \end{cases} \]

7. Уравнение плоскости \(A_1A_2A_3\)

Нормальный вектор плоскости:

\[ \vec n=(6;4;7). \]

Уравнение плоскости через точку \(A_1\):

\[ 6(x-1)+4(y+1)+7(z-1)=0. \]

Раскрываем скобки:

\[ 6x-6+4y+4+7z-7=0, \]

\[ 6x+4y+7z-9=0. \]

8. Уравнение высоты из \(A_4\)

Высота перпендикулярна плоскости основания, значит её направляющий вектор — это нормаль плоскости:

\[ \vec n=(6;4;7). \]

Прямая проходит через \(A_4=(2;-2;-4)\):

\[ \frac{x-2}{6}=\frac{y+2}{4}=\frac{z+4}{7}. \]

Параметрически:

\[ \begin{cases} x=2+6t,\\ y=-2+4t,\\ z=-4+7t. \end{cases} \]

Подставив в уравнение плоскости, получим \(t=\dfrac{33}{101}\). Основание высоты:

\[ H\left(\frac{400}{101};-\frac{70}{101};-\frac{173}{101}\right). \]

Длина высоты:

\[ A_4H=\frac{33}{\sqrt{101}}. \]

Проверка

Длина высоты и объём связаны формулой

\[ V=\frac13 S_{\text{осн}}h. \]

Подставляем:

\[ V=\frac13\cdot\frac{\sqrt{101}}2\cdot\frac{33}{\sqrt{101}} =\frac{33}{6}=\frac{11}{2}. \]

Совпадает с пунктом 5 — значит, вычисления согласованы.

Чертёж

Нарисуйте тетраэдр \(A_1A_2A_3A_4\): треугольник \(A_1A_2A_3\) — основание, точка \(A_4\) — вершина. Соедините \(A_4\) с \(A_1,A_2,A_3\). Из \(A_4\) опустите пунктирный перпендикуляр \(A_4H\) к плоскости основания и отметьте прямой угол. Точка \(H\) по координатам лежит вне треугольника \(A_1A_2A_3\), поэтому её можно показать на продолжении плоскости основания.

Схематично:

          A4
         /|\
        / | \
       /  |  \     A4H ⟂ плоскости A1A2A3
     A1---+---A2
       \     /
        \   /
         A3