268 и 270 с объяснениями

Краткие ответы

268.
а) \(x=\pm1\);
б) \(x=\pm3,\ \pm\sqrt7\);
в) \(x=2;\ 3;\ \dfrac{5\pm\sqrt{41}}{2}\);
г) \(x=0;\ 1\).

270.
а) \(x=0;\ 1\);
б) \(x=-3;\ 1\);
в) \(x=-18;\ -6;\ 6\);
г) \(x=-\dfrac83;\ -\dfrac43;\ 2;\ \dfrac{10}{3}\).

---

Главное правило

\[ |A|=b \iff A=b \ \text{или}\ A=-b, \] если \(b\ge 0\).

Если \(b=0\), то остаётся только одно уравнение: \[ |A|=0 \iff A=0. \]

Если \(b<0\), корней нет, потому что модуль не бывает отрицательным.

При вложенных модулях сначала раскрываем внешний модуль, затем внутренний.

---

268. Решите уравнение

а) \(|x^2-1|=0\)

Модуль равен нулю, когда подмодульное выражение равно нулю:

\[ x^2-1=0 \] \[ x^2=1 \] \[ x=\pm1. \]

Ответ: \(-1;\ 1\).

---

б) \(|8-x^2|=1\)

Раскрываем модуль:

\[ 8-x^2=1 \quad\text{или}\quad 8-x^2=-1. \]

1. \(8-x^2=1\) \[ x^2=7 \] \[ x=\pm\sqrt7. \]

2. \(8-x^2=-1\) \[ x^2=9 \] \[ x=\pm3. \]

Ответ: \(-3;\ -\sqrt7;\ \sqrt7;\ 3\).

---

в) \(|x^2-5x+1|=5\)

\[ x^2-5x+1=5 \quad\text{или}\quad x^2-5x+1=-5. \]

1. \(x^2-5x+1=5\) \[ x^2-5x-4=0. \] \[ D=25+16=41, \] \[ x=\frac{5\pm\sqrt{41}}{2}. \]

2. \(x^2-5x+1=-5\) \[ x^2-5x+6=0. \] \[ D=25-24=1, \] \[ x=\frac{5\pm1}{2}. \] Отсюда: \[ x=3,\quad x=2. \]

Ответ: \(2;\ 3;\ \dfrac{5-\sqrt{41}}{2};\ \dfrac{5+\sqrt{41}}{2}\).

---

г) \(|x^2-x+1|=1\)

\[ x^2-x+1=1 \quad\text{или}\quad x^2-x+1=-1. \]

1. \(x^2-x+1=1\) \[ x^2-x=0 \] \[ x(x-1)=0 \] \[ x=0,\quad x=1. \]

2. \(x^2-x+1=-1\) \[ x^2-x+2=0. \] \[ D=1-8=-7<0, \] значит, действительных корней нет.

Ответ: \(0;\ 1\).

---

270. Найдите корни уравнения

а) \(\big||2x-1|-1\big|=0\)

Внешний модуль равен нулю:

\[ |2x-1|-1=0 \] \[ |2x-1|=1. \]

Раскрываем внутренний модуль:

\[ 2x-1=1 \quad\text{или}\quad 2x-1=-1. \]

1. \(2x-1=1\) \[ 2x=2,\quad x=1. \]

2. \(2x-1=-1\) \[ 2x=0,\quad x=0. \]

Ответ: \(0;\ 1\).

---

б) \(\big||x+1|+3\big|=5\)

Так как \(|x+1|\ge0\), то \[ |x+1|+3\ge3>0. \] Значит, выражение под внешним модулем всегда положительно, и внешний модуль можно убрать:

\[ |x+1|+3=5. \] \[ |x+1|=2. \]

Тогда:

\[ x+1=2 \quad\text{или}\quad x+1=-2. \]

\[ x=1 \quad\text{или}\quad x=-3. \]

Вариант \(|x+1|+3=-5\) невозможен, так как тогда \(|x+1|=-8\).

Ответ: \(-3;\ 1\).

---

в) \(\big||x+6|-6\big|=6\)

Раскрываем внешний модуль:

\[ |x+6|-6=6 \quad\text{или}\quad |x+6|-6=-6. \]

1. \(|x+6|-6=6\) \[ |x+6|=12. \] \[ x+6=12 \quad\text{или}\quad x+6=-12. \] \[ x=6 \quad\text{или}\quad x=-18. \]

2. \(|x+6|-6=-6\) \[ |x+6|=0. \] \[ x+6=0, \] \[ x=-6. \]

Ответ: \(-18;\ -6;\ 6\).

---

г) \(\big|7-|3x-1|\big|=2\)

Раскрываем внешний модуль:

\[ 7-|3x-1|=2 \quad\text{или}\quad 7-|3x-1|=-2. \]

1. \(7-|3x-1|=2\) \[ |3x-1|=5. \] \[ 3x-1=5 \quad\text{или}\quad 3x-1=-5. \] \[ x=2 \quad\text{или}\quad x=-\frac43. \]

2. \(7-|3x-1|=-2\) \[ |3x-1|=9. \] \[ 3x-1=9 \quad\text{или}\quad 3x-1=-9. \] \[ x=\frac{10}{3} \quad\text{или}\quad x=-\frac83. \]

Ответ: \(-\dfrac83;\ -\dfrac43;\ 2;\ \dfrac{10}{3}\).

---

Проверка

Например, в 268в при \(x=2\):

\[ |2^2-5\cdot2+1|=|4-10+1|=|-5|=5. \]

При \(x=3\):

\[ |3^2-5\cdot3+1|=|9-15+1|=|-5|=5. \]

В 270г при \(x=2\):

\[ \big|7-|3\cdot2-1|\big| = |7-|5||=|7-5|=2. \]

Всё сходится.