M=5, n=4. Реши с графиком
Для первой задачи при \(m=5,\ n=4\).
Краткий ответ:
\[
x_1^*=8,\qquad x_2^*=4,\qquad Z_{\max}=76.
\]
То есть выгодно выпускать 8 единиц продукции I и 4 единицы продукции II.
1. Модель задачи
Подставляем \(m=5,\ n=4\):
\[ Z=7x_1+5x_2\to \max \]
\[ \begin{cases} 4x_1+2x_2\le 40,\\ x_1+x_2\le 12,\\ 2x_1+6x_2\le 48,\\ x_1\ge0,\ x_2\ge0. \end{cases} \]
2. Построение графика
Строим граничные прямые по двум точкам:
| Ограничение | Прямая | Точки для построения |
|---|---|---|
| A | \(4x_1+2x_2=40\) | \((10;0)\), \((0;20)\) |
| B | \(x_1+x_2=12\) | \((12;0)\), \((0;12)\) |
| C | \(2x_1+6x_2=48\) | \((24;0)\), \((0;8)\) |
Берём область ниже каждой прямой и в первой четверти. Получается многоугольник с вершинами:
\[ (0;0),\quad (0;8),\quad (6;6),\quad (8;4),\quad (10;0). \]
Например, \((6;6)\) — пересечение прямых B и C, а \((8;4)\) — пересечение A и B.
Точка \((7{,}2;5{,}6)\) — пересечение A и C — не подходит, потому что \(7{,}2+5{,}6=12{,}8>12\), то есть лежит вне области.
3. Проверяем вершины
\[ \begin{array}{c|c} \text{Вершина} & Z=7x_1+5x_2\\ \hline (0;0) & 0\\ (0;8) & 40\\ (6;6) & 72\\ (8;4) & \mathbf{76}\\ (10;0) & 70 \end{array} \]
Максимум достигается в точке \((8;4)\).
4. Проверка
\[ 4\cdot8+2\cdot4=40, \] \[ 8+4=12, \] \[ 2\cdot8+6\cdot4=40\le48. \]
Сырьё A и B расходуется полностью, а сырья C остаётся \(48-40=8\) единиц.
Ответ:
\[
\boxed{x_1=8,\quad x_2=4,\quad Z_{\max}=76.}
\]
Принцип для похожих задач: строим все граничные прямые, находим вершины допустимого многоугольника и подставляем их в целевую функцию. У линейной функции максимум и минимум всегда достигаются в вершине.
