215 и 218

Краткий ответ

215.
а) \((3;8)\);
б) \((-\infty;-6)\cup\left(\frac12;+\infty\right)\);
в) \(\left[-1;\frac17\right]\);
г) \(x\in\mathbb R,\ x\ne -0{,}2\);
д) \(\varnothing\);
е) \([-12;2]\);
ж) \(\mathbb R\);
з) \(\varnothing\).

218.
а) \(\mathbb R\);
б) \(\left(\frac{13-\sqrt{233}}2;\frac{13+\sqrt{233}}2\right)\);
в) \(\varnothing\);
г) \((-2;5)\).

Как рассуждать

1. Приводим неравенство к виду \(ax^2+bx+c \gtrless 0\).
2. Находим корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\) через дискриминант: \[ D=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}. \]
3. Если \(a>0\), то парабола направлена ветвями вверх:
   • выражение \(<0\) между корнями;
   • выражение \(>0\) вне корней.
4. Если \(a<0\), удобно умножить неравенство на \(-1\), поменяв знак неравенства.
5. Если \(D<0\), корней нет; знак выражения совпадает со знаком \(a\).
6. В строгих неравенствах \(<,>\) корни выкалываются, в нестрогих \(\le,\ge\) включаются.

Разбор 215

• а) \(x^2-11x+24<0\).
  \(D=25\), корни \(3\) и \(8\). Нужен «минус» между корнями:
  \[ (3;8). \]

• б) \(2x^2+11x-6>0\).
  \(D=169\), корни \(-6\) и \(\frac12\). Нужен «плюс» вне корней:
  \[ (-\infty;-6)\cup\left(\frac12;+\infty\right). \]

• в) \(-7x^2-6x+1\ge0\).
  Умножаем на \(-1\): \[ 7x^2+6x-1\le0. \] Корни \(-1\) и \(\frac17\). Ответ: \[ \left[-1;\frac17\right]. \]

• г) \(2{,}5x^2+x+0{,}1>0\).
  \(D=0\), корень \(-0{,}2\). Причём \[ 2{,}5x^2+x+0{,}1=2{,}5(x+0{,}2)^2. \] Строго больше нуля везде, кроме \(x=-0{,}2\).

• д) \(-9x^2+12x-4>0\).
  \[ -9x^2+12x-4=-(3x-2)^2\le0, \] поэтому положительным быть не может. Решений нет.

• е) \(0{,}1x^2+x-2{,}4\le0\).
  Умножим на \(10\): \[ x^2+10x-24\le0. \] Корни \(-12\) и \(2\). Ответ: \([-12;2]\).

• ж) \(3x^2-x+5>0\).
  \(D=1-60=-59<0\), а \(a=3>0\), значит выражение всегда положительно:
  \[ x\in\mathbb R. \]

• з) \(-2x^2-4x-6\ge0\).
  После умножения на \(-1\): \[ 2x^2+4x+6\le0. \] \(D=16-48=-32<0\), \(a>0\), выражение всегда положительно. Решений нет.

Разбор 218

• а)
  \[ 7x(7x-4)+2(7x+2)\ge0 \] \[ 49x^2-14x+4\ge0. \] \(D=196-784=-588<0\), \(a=49>0\), значит выражение всегда положительно.
  Ответ: \(\mathbb R\).

• б)
  \[ 3p(p-2)<2p(p+4)-(p-16) \] \[ 3p^2-6p<2p^2+7p+16 \] \[ p^2-13p-16<0. \] Корни: \[ p_{1,2}=\frac{13\pm\sqrt{233}}2. \] Так как \(a>0\), берём промежуток между корнями: \[ \left(\frac{13-\sqrt{233}}2;\frac{13+\sqrt{233}}2\right). \]

• в)
  \[ 2(6-x)+3x(x-1)\le0 \] \[ 12-2x+3x^2-3x\le0 \] \[ 3x^2-5x+12\le0. \] \(D=25-144=-119<0\), \(a>0\), выражение всегда положительно.
  Ответ: \(\varnothing\).

• г)
  \[ (y-3)^2-3(6-y)<1 \] \[ y^2-6y+9-18+3y<1 \] \[ y^2-3y-10<0. \] Корни \(-2\) и \(5\). Берём между корнями: \[ (-2;5). \]

Проверка.
Например, в 215а при \(x=4\): \[ 16-44+24=-4<0, \] значит \(4\) действительно входит в ответ.
В 215д выражение равно \(-(3x-2)^2\), поэтому быть положительным не может.
В 218г при \(y=0\): \[ (0-3)^2-3(6-0)=9-18=-9<1, \] а при \(y=6\) получаем \(9<1\) — неверно, поэтому \(5\) не включается. Это подтверждает интервал \((-2;5)\).