Реши задание на изображении

На изображении три задачи. Решу каждую с пояснением принципа.

Кратко:

1. а) \(\triangle ABM = \triangle DCM\) по трём сторонам; б) \(\angle DCM = 48^\circ\).
2. \(BD\) — биссектриса \(\angle ABC\) и \(\angle ADC\), так как \(\triangle ABD = \triangle CBD\).
3. а) \(\triangle ABC = \triangle DCB\); б) \(\triangle ABO = \triangle DCO\).

Подробные шаги:

Задача 1. а) В треугольниках \(ABM\) и \(DCM\):

• \(AM = MD\) (по условию);
• \(BM = MC\) (медиана делит \(BC\) пополам);
• \(AB = CD\) (по условию). Значит, \(\triangle ABM = \triangle DCM\) по третьему признаку (по трём сторонам). б) В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Стороне \(AM\) в \(\triangle ABM\) соответствует сторона \(DM\) в \(\triangle DCM\). Угол \(\angle ABM\) лежит против \(AM\), угол \(\angle DCM\) — против \(DM\). Так как \(AM = DM\), то \(\angle ABM = \angle DCM = 48^\circ\).

Задача 3. Рассмотрим \(\triangle ABD\) и \(\triangle CBD\):

• \(AB = CB\) (по условию);
• \(AD = CD\) (по условию);
• \(BD\) — общая сторона. Значит, \(\triangle ABD = \triangle CBD\) по трём сторонам. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Поэтому \(\angle ABD = \angle CBD\) (против \(AD\) и \(CD\)), то есть \(BD\) — биссектриса \(\angle ABC\). Аналогично \(\angle ADB = \angle CDB\) (против \(AB\) и \(CB\)), то есть \(BD\) — биссектриса \(\angle ADC\).

Задача 7. а) В \(\triangle ABC\) и \(\triangle DCB\):

• \(AB = DC\) (по условию);
• \(AC = DB\) (по условию);
• \(BC\) — общая сторона. Значит, \(\triangle ABC = \triangle DCB\) по трём сторонам. б) Из равенства \(\triangle ABC = \triangle DCB\) следует \(\angle ABC = \angle DCB\), то есть \(\angle ABO = \angle DCO\) (так как \(O\) лежит на \(BC\)). Рассмотрим \(\triangle ABD\) и \(\triangle DCA\):
• \(AB = DC\) (по условию);
• \(BD = AC\) (по условию);
• \(AD\) — общая сторона. Значит, \(\triangle ABD = \triangle DCA\) по трём сторонам. Отсюда \(\angle BAD = \angle CDA\), то есть \(\angle BAO = \angle CDO\) (так как \(O\) лежит на \(AD\)). Теперь в \(\triangle ABO\) и \(\triangle DCO\):
• \(AB = DC\);
• \(\angle ABO = \angle DCO\);
• \(\angle BAO = \angle CDO\). По стороне и двум прилежащим углам \(\triangle ABO = \triangle DCO\).

Проверка и принцип: Во всех задачах используется третий признак равенства треугольников: если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, то такие треугольники равны. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов (против равных сторон лежат равные углы). Это и позволяет доказывать равенство углов и находить их градусные меры.