360 и прямая пропорция
Кратко по № 360
| Пункт | Четверти |
|---|---|
| а) \(5x-8y=-2\) | I, II, III |
| б) \(5x+8y=2\) | I, II, IV |
| в) \(3x+4y=25\) | I, II, IV |
| г) \(3x+12y=-20\) | II, III, IV |
| д) \(15x-18=0\) | I, IV |
| е) \(10y+5=0\) | III, IV |
Как рассуждать, чтобы решать похожие
Четверти координатной плоскости:
- I: \(x>0,\ y>0\)
- II: \(x<0,\ y>0\)
- III: \(x<0,\ y<0\)
- IV: \(x>0,\ y<0\)
График линейного уравнения \(ax+by=c\) — прямая. Чтобы понять, через какие четверти она проходит:
- Вырази \(y\) через \(x\): \(y=kx+b\).
- Найди две точки: при \(x=0\) и при \(y=0\). Это точки пересечения с осями.
- Отметь их и проведи прямую — сразу видно, какие четверти она задевает.
Быстрое правило по знакам \(k\) и \(b\):
- \(k>0,\ b>0\) — I, II, III;
- \(k>0,\ b<0\) — I, III, IV;
- \(k<0,\ b>0\) — I, II, IV;
- \(k<0,\ b<0\) — II, III, IV;
- \(b=0\) — I и III при \(k>0\); II и IV при \(k<0\).
Особые случаи:
- Вертикальная прямая \(x=a\): при \(a>0\) — I и IV; при \(a<0\) — II и III.
- Горизонтальная прямая \(y=b\): при \(b>0\) — I и II; при \(b<0\) — III и IV.
Разбор № 360
| Пункт | Приводим к \(y=kx+b\) | Точки для схемы | Четверти |
|---|---|---|---|
| а) | \(y=\frac58x+\frac14\) | \((0;\frac14)\), \((-\frac25;0)\) | I, II, III |
| б) | \(y=-\frac58x+\frac14\) | \((0;\frac14)\), \((\frac25;0)\) | I, II, IV |
| в) | \(y=-\frac34x+\frac{25}{4}\) | \((0;\frac{25}{4})\), \((\frac{25}{3};0)\) | I, II, IV |
| г) | \(y=-\frac14x-\frac53\) | \((0;-\frac53)\), \((-\frac{20}{3};0)\) | II, III, IV |
| д) | \(x=\frac65=1{,}2\) — вертикальная | проходит через \((\frac65;0)\) | I, IV |
| е) | \(y=-\frac12=-0{,}5\) — горизонтальная | проходит через \((0;-\frac12)\) | III, IV |
Например, для а): точки \((0;\frac14)\) и \((-\frac25;0)\). Прямая идёт из III четверти через II и I, а в IV не заходит, потому что при \(x>0\) получается \(y>0\).
Про прямую пропорциональность
Прямая пропорциональность — это функция вида
\[ y=kx. \]
Это частный случай линейной функции \(y=kx+b\), когда \(b=0\). График всегда проходит через начало координат \((0;0)\), поэтому занимает только две противоположные четверти:
- \(k>0\) — I и III;
- \(k<0\) — II и IV.
В № 360 ни одно уравнение не является прямой пропорциональностью: подставь \(x=0,\ y=0\), и равенство не выполнится. Например, в а) \(5\cdot0-8\cdot0=0\), а справа \(-2\). Значит, прямые сдвинуты и могут проходить через три четверти.
Пример: \(5x-8y=0\) — это прямая пропорциональность, \(y=\frac58x\), график в I и III. А \(5x-8y=-2\) — та же прямая, но сдвинутая вверх на \(\frac14\), поэтому она заходит ещё и во II четверть.
Проверка
Для а) \(y=\frac58x+\frac14\):
- \(x=1\): \(y=\frac78>0\) — I;
- \(x=-0{,}2\): \(y=\frac18>0\) — II;
- \(x=-1\): \(y=-\frac38<0\) — III.
В IV не попадаем, так как при \(x>0\) всегда \(y>0\). Всё сходится.
Обсуждение
2 сообщенияКоротко: график любого линейного уравнения \(ax+by=c\) — прямая. В №360 это не прямая пропорциональность: прямая пропорциональность имеет вид
\[
y=kx
\]
и её график проходит через начало координат. У уравнений из №360 свободный член не равен нулю, поэтому через \((0;0)\) эти прямые не проходят.
Ответы к №360
| Пункт | Уравнение | Удобный вид | Четверти |
|---|---|---|---|
| а | \(5x-8y=-2\) | \(y=\frac58x+\frac14\) | I, II, III |
| б | \(5x+8y=2\) | \(y=-\frac58x+\frac14\) | I, II, IV |
| в | \(3x+4y=25\) | \(y=-\frac34x+\frac{25}{4}\) | I, II, IV |
| г | \(3x+12y=-20\) | \(y=-\frac14x-\frac53\) | II, III, IV |
| д | \(15x-18=0\) | \(x=\frac65\) — вертикальная прямая | I, IV |
| е | \(10y+5=0\) | \(y=-\frac12\) — горизонтальная прямая | III, IV |
Как это получить
Для схематического рисунка достаточно найти две точки — пересечения с осями.
Например, для а):
\[
5x-8y=-2.
\]
Если \(x=0\), то \(y=\frac14\).
Если \(y=0\), то \(x=-\frac25\).
Отмечаем точки \((0;\frac14)\) и \((-\frac25;0)\), проводим через них прямую. Она проходит через I, II и III четверти.
Аналогично для остальных: находим точки пересечения с осями и смотрим, через какие четверти идёт прямая.
Про прямую пропорциональность
Если две величины прямо пропорциональны, то \[ y=kx. \] График:
- при \(k>0\) проходит через I и III четверти;
- при \(k<0\) — через II и IV четверти;
- всегда проходит через начало координат.
