Толук чыгарылыш (дептерге жазуу үчүн)

Колдонулган формулалар: \[ ax^2+bx+c=0,\qquad D=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} \]

1) \(x^2+6x-19=0\)

\(a=1,\quad b=6,\quad c=-19\)

\[ D=6^2-4\cdot1\cdot(-19)=36+76=112 \] \[ \sqrt D=\sqrt{112}=\sqrt{16\cdot7}=4\sqrt7 \] \[ x_{1,2}=\frac{-6\pm4\sqrt7}{2}=\frac{2(-3\pm2\sqrt7)}{2}=-3\pm2\sqrt7 \]

Жообу: \(x_1=-3+2\sqrt7\approx2{,}29;\quad x_2=-3-2\sqrt7\approx-8{,}29\)

Текшерүү (Виет): \(x_1+x_2=-6=-\frac{b}{a}\) ✓, \(x_1x_2=9-28=-19=\frac{c}{a}\) ✓

2) \(5x^2+26x-21=0\)

\(a=5,\quad b=26,\quad c=-21\)

\[ D=26^2-4\cdot5\cdot(-21)=676+420=1096 \] \[ \sqrt D=\sqrt{1096}=\sqrt{4\cdot274}=2\sqrt{274} \] \[ x_{1,2}=\frac{-26\pm2\sqrt{274}}{10}=\frac{2(-13\pm\sqrt{274})}{10}=\frac{-13\pm\sqrt{274}}{5} \]

Жообу: \(x_1=\dfrac{-13+\sqrt{274}}{5}\approx0{,}71;\quad x_2=\dfrac{-13-\sqrt{274}}{5}\approx-5{,}91\)

Текшерүү: \(x_1x_2=\dfrac{169-274}{25}=\dfrac{-105}{25}=-4{,}2=\dfrac{c}{a}\) ✓

3) \(x^2-34x+289=0\)

\(a=1,\quad b=-34,\quad c=289\)

\[ D=(-34)^2-4\cdot1\cdot289=1156-1156=0 \]

\(D=0\) болгондуктан тамыр бирөө: \[ x=-\frac{b}{2a}=\frac{34}{2}=17 \]

Жообу: \(x=17\) (эки жолу кайталанат, \(x_1=x_2=17\))

Кошемо: \(x^2-34x+289=(x-17)^2\) — толук квадрат.

4) \(3x^2+32x+80=0\)

\(a=3,\quad b=32,\quad c=80\)

\[ D=32^2-4\cdot3\cdot80=1024-960=64 \] \[ \sqrt D=8 \] \[ x_{1,2}=\frac{-32\pm8}{6} \] \[ x_1=\frac{-32+8}{6}=\frac{-24}{6}=-4;\qquad x_2=\frac{-32-8}{6}=\frac{-40}{6}=-\frac{20}{3} \]

Жообу: \(x_1=-4;\quad x_2=-\dfrac{20}{3}\approx-6{,}67\)

Текшерүү (Виет): \(x_1+x_2=-4-\frac{20}{3}=-\frac{32}{3}=-\frac{b}{a}\) ✓, \(x_1x_2=\frac{80}{3}=\frac{c}{a}\) ✓

Эскертүү: 1-жана 2-теңдемелерде дискриминант толук квадрат эмес, ошондуктан жоопто тамыр (\(\sqrt7\), \(\sqrt{274}\)) калат — бул туура жооп, андан ары «кооздоп» бүтүн санга айландырууга болбойт.

Сүрөттөн теңдемелер так көрүнүп турат — ошого ылайык жоопту тактайын.

Эки маанилүү тактоо (мурдагы жооптон):

• **№Эки маанилүү тактоо (мурдагы жооптон):
• №2: сүрөттө акыркы мүчө \(-24\), \(-21\) эмес. Бул маанилүү — ошентип дискриминант толук квадрат болуп, жооп кооз чыгат.
• №3: дептерде \(34\) дөн кийин \(x\) жазылбай калган. Мындай тапшырмада адатта \(x^2-34x+289=0\) болот — ошону чыгарабыз; сөзмө-сөз окуган вариантты төмөндө белгилейм.

1) \(x^2+6x-19=0\)

\(a=1,\ b=6,\ c=-19\)

\[ D=6^2-4\cdot1\cdot(-19)=36+76=112=16\cdot7,\qquad \sqrt D=4\sqrt7 \] \[ x_{1,2}=\frac{-6\pm4\sqrt7}{2}=-3\pm2\sqrt7 \]

Жообу: \(x_1=-3+2\sqrt7\approx2{,}29;\quad x_2=-3-2\sqrt7\approx-8{,}29\)

Текшерүү: \(x_1+x_2=-6\), \(x_1x_2=9-28=-19\) ✓

2) \(5x^2+26x-24=0\)

\(a=5,\ b=26,\ c=-24\)

\[ D=26^2-4\cdot5\cdot(-24)=676+480=1156=34^2 \] \[ x_{1,2}=\frac{-26\pm34}{10} \] \[ x_1=\frac{8}{10}=\frac45;\qquad x_2=\frac{-60}{10}=-6 \]

Жообу: \(x_1=\dfrac45=0{,}8;\quad x_2=-6\)

Текшерүү (Виет): \(\frac45+(-6)=-\frac{26}{5}\) ✓, \(\frac45\cdot(-6)=-\frac{24}{5}=\frac{c}{a}\) ✓

3) \(x^2-34x+289=0\)

\(a=1,\ b=-34,\ c=289\)

\[ D=(-34)^2-4\cdot1\cdot289=1156-1156=0 \]

\(D=0\) болгондуктан тамыр бирөө: \[ x=-\frac{b}{2a}=\frac{34}{2}=17 \]

Жообу: \(x_1=x_2=17\)

Бул толук квадрат: \(x^2-34x+289=(x-17)^2\).

Эгер дептерде чынында эле \(x\) жок болсо: \(x^2-34+289=0\Rightarrow x^2+255=0\) — чыныгы тамыр жок. Бирок тапшырманын мааниси боюнча \(x\) түшүп калган деп эсептейбиз.

4) \(3x^2+32x+80=0\)

\(a=3,\ b=32,\ c=80\)

\[ D=32^2-4\cdot3\cdot80=1024-960=64=8^2 \] \[ x_{1,2}=\frac{-32\pm8}{6} \] \[ x_1=\frac{-24}{6}=-4;\qquad x_2=\frac{-40}{6}=-\frac{20}{3} \]

Жообу: \(x_1=-4;\quad x_2=-\dfrac{20}{3}\approx-6{,}67\)

Текшерүү: \((3x+20)(x+4)=3x^2+12x+20x+80=3x^2+32x+80\) ✓

Дептерге кыскача жооп