Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Ответ: \(x_1 = 2,\; x_2 = 3\).

Способ 1. Через дискриминант (универсальный)

Для уравнения \(ax^2+bx+c=0\) сначала считаем дискриминант:

\[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]

\(D>0\) — значит, два разных корня:

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2} \]

\[ x_1=\frac{5+1}{2}=3,\qquad x_2=\frac{5-1}{2}=2 \]

Способ 2. По теореме Виета (быстрее, если коэффициент при \(x^2\) равен 1)

Приведённое уравнение \(x^2+px+q=0\) имеет корни, для которых:

\[ x_1+x_2=-p=5,\qquad x_1\cdot x_2=q=6 \]

Подбираем два числа: сумма 5, произведение 6 → это 2 и 3.

Способ 3. Разложение на множители

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нуль:

\[ x-2=0 \Rightarrow x=2;\qquad x-3=0 \Rightarrow x=3 \]

Проверка

Подставим \(x=2\): \(4-10+6=0\) ✔ Подставим \(x=3\): \(9-15+6=0\) ✔

Принцип, который стоит запомнить: у квадратного уравнения не больше двух корней, а знак дискриминанта сразу говорит, сколько их: \(D>0\) — два, \(D=0\) — один, \(D<0\) — нет действительных корней. Если сумма и произведение корней «подбираются» легко (как здесь), Виета экономит время; если нет — дискриминант надёжнее.