Реши задание на изображении

Краткие ответы: а) \(4\) или \(\sqrt{34}\) — зависит от того, какая сторона является гипотенузой.
б) \(15^\circ\) и \(75^\circ\).
в) Равенство верно; обе разности равны \(AO^2-OC^2\).

а) Две стороны равны \(3\) и \(5\)

Используем теорему Пифагора. Так как не сказано, какие именно это стороны, возможны два случая.

1. Гипотенуза равна \(5\). Тогда второй катет: \[ x=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=4. \]

2. Стороны \(3\) и \(5\) — катеты. Тогда гипотенуза: \[ c=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}. \]

Случай, когда \(3\) — гипотенуза, а \(5\) — катет, невозможен: гипотенуза не может быть короче катета.

Ответ: \(4\) или \(\sqrt{34}\).

б) Высота к гипотенузе равна \(\dfrac c4\)

Пусть \(c\) — гипотенуза, \(a,b\) — катеты, \(\alpha\) — острый угол между гипотенузой и катетом \(a\).

Тогда \[ a=c\cos\alpha,\qquad b=c\sin\alpha. \] Площадь треугольника можно записать двумя способами: \[ \frac12 ab=\frac12 c h_c. \] Отсюда \[ h_c=\frac{ab}{c}=c\sin\alpha\cos\alpha=\frac c2\sin 2\alpha. \] По условию \(h_c=\dfrac c4\), значит: \[ \frac c2\sin 2\alpha=\frac c4 \quad\Rightarrow\quad \sin 2\alpha=\frac12. \] Для острого \(\alpha\): \[ 2\alpha=30^\circ \quad\text{или}\quad 2\alpha=150^\circ. \] То есть \[ \alpha=15^\circ \quad\text{или}\quad \alpha=75^\circ. \]

Второй острый угол равен \(90^\circ-\alpha\), поэтому углы треугольника — \(15^\circ\) и \(75^\circ\).

Ответ: \(15^\circ\) и \(75^\circ\).

в) Диагонали перпендикулярны

Пусть диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\) под прямым углом. Обозначим \[ AO=x,\quad OC=y,\quad BO=u,\quad OD=v. \] Тогда треугольники \(AOB\), \(BOC\), \(COD\), \(DOA\) прямоугольные. По теореме Пифагора: \[ AB^2=x^2+u^2, \] \[ BC^2=u^2+y^2, \] \[ AD^2=x^2+v^2, \] \[ DC^2=v^2+y^2. \] Вычитаем: \[ AB^2-BC^2=(x^2+u^2)-(u^2+y^2)=x^2-y^2, \] \[ AD^2-DC^2=(x^2+v^2)-(v^2+y^2)=x^2-y^2. \] Правые части равны, значит: \[ AB^2-BC^2=AD^2-DC^2. \] Что и требовалось доказать.

Проверка

• а) \(3^2+4^2=5^2\); \(3^2+5^2=34\).
• б) \(\sin15^\circ\cos15^\circ=\frac12\sin30^\circ=\frac14\), поэтому \(h_c=\frac c4\).
• в) Подстановка выражений для \(AB^2\), \(BC^2\), \(AD^2\), \(DC^2\) даёт в обеих частях \(x^2-y^2\).

Главный принцип: если в прямоугольном треугольнике не указано, какие стороны катеты, проверяй оба случая; перпендикулярные диагонали удобно разбивать на четыре прямоугольных треугольника и применять теорему Пифагора.