Реши задание на изображении

Краткие ответы:

• 5.1: \(AD=8\)
• 5.2: \(ON_2=42\) см, \(OM_2=24\) см
• 5.3: периметр \(AMCN\) равен \(30\) см

5.1

Пусть \(AD=x\). В треугольнике \(ACD\): \[ \angle D=60^\circ,\quad AC\perp CD, \] значит \[ \angle CAD=90^\circ-60^\circ=30^\circ. \]

В прямоугольном треугольнике \(ACD\) против угла \(30^\circ\) лежит катет \(CD\), поэтому \[ CD=\frac{AD}{2}=\frac{x}{2}. \] Также \[ AC=x\cdot \frac{\sqrt3}{2}. \]

По условию \[ \angle BAC=\angle DAC=30^\circ. \] Тогда \[ \angle BAD=30^\circ+30^\circ=60^\circ. \]

Так как \(AD\parallel BC\), то \[ \angle BCA=\angle CAD=30^\circ. \] Значит, в треугольнике \(ABC\): \[ \angle BAC=\angle BCA=30^\circ, \] поэтому он равнобедренный: \[ AB=BC. \]

Обозначим \(AB=BC=y\). Тогда угол при вершине \(B\) равен \(120^\circ\). По теореме косинусов: \[ AC^2=y^2+y^2-2y^2\cos120^\circ=3y^2, \] значит \[ AC=y\sqrt3. \] Но \(AC=\dfrac{x\sqrt3}{2}\), поэтому \[ y=\frac{x}{2}. \] То есть \[ AB=BC=CD=\frac{x}{2}. \]

Периметр трапеции: \[ x+\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{x}{2}=20. \] \[ \frac{5x}{2}=20 \quad\Rightarrow\quad x=8. \]

Ответ: \(AD=8\).

Проверка: \(8+4+4+4=20\).

5.2

Треугольники \[ \triangle ON_1M_1 \sim \triangle ON_2M_2 \] по двум углам, так как \(M_1N_1\parallel M_2N_2\).

Коэффициент подобия: \[ k=\frac{ON_2}{ON_1}. \] По условию \[ ON_1=N_1N_2, \] значит \[ ON_2=ON_1+N_1N_2=2ON_1. \] То есть \[ k=2. \] Следовательно, \[ OM_2=2OM_1. \]

Пусть \[ ON_1=7t,\qquad OM_1=4t. \] Тогда \[ ON_2=14t,\qquad OM_2=8t. \] Далее: \[ N_1N_2=ON_1=7t, \] \[ M_1M_2=OM_2-OM_1=8t-4t=4t. \] По условию: \[ N_1N_2+M_1M_2=33, \] \[ 7t+4t=33, \] \[ 11t=33, \] \[ t=3. \] Значит, \[ ON_2=14t=42\text{ см}, \] \[ OM_2=8t=24\text{ см}. \]

Ответ: \(ON_2=42\) см, \(OM_2=24\) см.

5.3

1) Докажем, что \(AMCN\) — параллелограмм

В параллелограмме \(ABCD\) стороны \(AB\) и \(CD\) параллельны: \[ AB\parallel CD. \] Точки \(M\) и \(N\) лежат соответственно на \(AB\) и \(CD\), поэтому \[ AM\parallel CN. \] По условию \[ AM=CN. \] Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то он является параллелограммом. Значит, \[ AMCN \] — параллелограмм.

2) Найдём периметр \(AMCN\)

Периметр параллелограмма \(ABCD\): \[ 2(AB+BC)=50. \] Так как \(BC=10\), то \[ AB+10=25, \] \[ AB=15\text{ см}. \]

Дано: \[ AM:MB=2:3. \] Всего \(2+3=5\) частей, поэтому \[ AM=\frac{2}{5}\cdot 15=6\text{ см}. \]

По условию: \[ AN=AM+3=6+3=9\text{ см}. \]

В параллелограмме \(AMCN\) противоположные стороны равны, поэтому его периметр: \[ 2(AM+AN)=2(6+9)=30\text{ см}. \]

Ответ: периметр \(AMCN\) равен \(30\) см.

Что важно понять:

1. Угол \(60^\circ\) вместе с перпендикуляром часто даёт прямоугольный треугольник с углами \(30^\circ,60^\circ,90^\circ\).
2. Параллельные отрезки в подобных треугольниках дают одинаковый коэффициент подобия для всех соответствующих сторон.
3. Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то это параллелограмм; его периметр равен \(2(a+b)\).