номер 106,107,108
Коротко
- №106 — провести три медианы: из каждой вершины к середине противоположной стороны.
- №107 — провести три биссектрисы: из каждой вершины луч, делящий угол пополам, до противоположной стороны.
- №108 — провести три высоты: перпендикуляры из вершин к противоположным сторонам. В тупоугольном треугольнике две высоты падают на продолжения сторон.
Во всех трёх номерах есть удобная проверка: три медианы, три биссектрисы и три высоты (или их продолжения) должны пересечься в одной точке.
№106. Медианы
Начерти любой треугольник, например \(ABC\).
Масштабной линейкой измерь сторону \(AB\), раздели её длину пополам и поставь точку \(M\) так, чтобы \(AM=MB\). Так же отметь середины \(N\) стороны \(BC\) и \(K\) стороны \(AC\).
Соедини:
- \(C\) с \(M\),
- \(A\) с \(N\),
- \(B\) с \(K\).
Это и есть медианы.
Проверка: все три медианы должны пересечься в одной точке внутри треугольника. Если не сходится, проверь середины сторон: линейку при измерении прикладывай от нулевого деления, а не от края.
Принцип: медиана — отрезок от вершины до середины противоположной стороны. Слово «медиана» связано с «серединой».
№107. Биссектрисы
Начерти треугольник \(ABC\).
Для угла \(A\):
- приложи транспортир центром к вершине \(A\);
- совмести нулевую линию транспортира с одной стороной угла, например с \(AB\);
- измерь угол \(BAC\), раздели его градусную меру пополам;
- отложи от стороны \(AB\) половину угла и проведи луч из \(A\). Точка, где луч встретит \(BC\), — конец биссектрисы.
Например, если \(\angle A=60^\circ\), то биссектриса идёт под \(30^\circ\) к стороне \(AB\).
Повтори построение для углов \(B\) и \(C\).
Проверка: три биссектрисы должны пересечься в одной точке внутри треугольника. Если точка не сходится, скорее всего, угол отложен не от той стороны или неверно найдена половина угла.
Принцип: биссектриса делит угол на две равные части. Для треугольника берут именно отрезок биссектрисы от вершины до противоположной стороны.
№108. Высоты
1) Остроугольный треугольник \(ABC\)
Все углы острые, поэтому все высоты лежат внутри треугольника.
- Высота из \(A\) — перпендикуляр к прямой \(BC\).
- Высота из \(B\) — перпендикуляр к \(AC\).
- Высота из \(C\) — перпендикуляр к \(AB\).
Как провести чертёжным угольником:
- Приложи одну сторону прямого угла угольника к стороне, например к \(BC\).
- Передвигай угольник вдоль \(BC\), пока вторая сторона прямого угла не пройдёт через вершину \(A\).
- Проведи отрезок от \(A\) до \(BC\) — это высота.
Проверка: все три высоты пересекаются в одной точке внутри треугольника.
2) Тупоугольный треугольник \(MNP\), где \(\angle M>90^\circ\)
- Высота из \(M\) к стороне \(NP\): она попадёт на саму сторону \(NP\), потому что углы \(N\) и \(P\) острые.
- Высота из \(N\) к стороне \(MP\): прямую \(MP\) нужно продолжить за точку \(M\) штриховой линией; перпендикуляр из \(N\) падает на это продолжение.
- Высота из \(P\) к стороне \(MN\): аналогично продолжаем \(MN\) за точку \(M\) и опускаем перпендикуляр из \(P\).
То есть в тупоугольном треугольнике две высоты заканчиваются на продолжениях сторон, а не на самих сторонах.
Проверка: три прямые, содержащие высоты, пересекаются в одной точке — ортоцентре. У тупоугольного треугольника эта точка лежит вне треугольника.
Принцип: высота — это перпендикуляр из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Чертёжный угольник как раз даёт прямой угол; важно совмещать его сторону не обязательно с отрезком стороны, а с прямой, на которой эта сторона лежит.
Общий вывод:
- медиана делит сторону пополам;
- биссектриса делит угол пополам;
- высота образует прямой угол со стороной.
Если в похожем задании нужно построить одну из этих линий, сначала вспомни её определение, а потом выполняй построение подходящим инструментом: линейкой с делениями — для медианы, транспортиром — для биссектрисы, чертёжным угольником — для высоты.
