Это задание из присланного изображения — «Задача 4» по геометрии (биссектрисы). Решаю все три пункта.

---

а) Теорема о биссектрисе угла треугольника

Формулировка. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на два отрезка, пропорциональные прилежащим сторонам.

Если $AL$ — биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ ($L \in BC$), то $$\frac{BL}{LC}=\frac{AB}{AC}.$$

Именно этим свойством пользуемся в пункте б).

---

б) Дано: $AD$ и $BK$ — биссектрисы, $BD:DC=2:5$, $AK:KC=1:3$, $P=26$

Обозначим стороны: $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$.

1. Биссектриса $AD$ (из вершины $A$) делит сторону $BC$ в отношении прилежащих сторон: $$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}=\frac{2}{5};\Rightarrow; c:b=2:5.$$

2. Биссектриса $BK$ (из вершины $B$) делит сторону $AC$ в отношении прилежащих сторон: $$\frac{AK}{KC}=\frac{AB}{BC}=\frac{c}{a}=\frac{1}{3};\Rightarrow; c:a=1:3.$$

3. Вводим общую часть. Из первого условия $c=2x$, $b=5x$; из второго $c=a/3$, значит $a=3c=6x$.

Периметр: $$a+b+c=6x+5x+2x=13x=26;\Rightarrow;x=2.$$

4. Стороны: $$AB=c=4,\qquad AC=b=10,\qquad BC=a=12.$$

Проверка: $4+10=14>12$ — неравенство треугольника выполнено; $BD:DC=4:10=2:5$ ✓, $AK:KC=4:12=1:3$ ✓, $P=4+10+12=26$ ✓.

Ответ: $AB=4$, $AC=10$, $BC=12$.

---

в) Трапеция $ABCD$, $AD\parallel BC$, биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в $O$

1. Докажем, что $\angle AOB=90^\circ$

Углы $A$ и $B$ трапеции прилежат к боковой стороне $AB$, а $AD\parallel BC$, поэтому они внутренние односторонние при секущей $AB$: $$\angle DAB+\angle ABC=180^\circ.$$

Так как $AO$ и $BO$ — биссектрисы: $$\angle OAB=\tfrac12\angle DAB,\qquad \angle OBA=\tfrac12\angle ABC,$$ $$\angle OAB+\angle OBA=\tfrac12\cdot180^\circ=90^\circ.$$

Сумма углов треугольника $AOB$: $$\angle AOB=180^\circ-90^\circ=90^\circ. \quad\blacksquare$$

2. Докажем, что $O$ лежит на средней линии

Вспомним: любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.

• $O$ лежит на биссектрисе $\angle A$, значит расстояние от $O$ до прямых $AB$ и $AD$ одинаково;
• $O$ лежит на биссектрисе $\angle B$, значит расстояние от $O$ до прямых $AB$ и $BC$ одинаково.

Следовательно, расстояния от $O$ до трёх прямых $AB$, $AD$, $BC$ равны одному числу $r$: $$\rho(O,AD)=\rho(O,BC)=r.$$

Значит $O$ одинаково удалена от оснований $AD$ и $BC$. Прямая, проходящая через $O$ параллельно основаниям, находится на расстоянии $r$ от каждого из них, то есть является множеством точек, равноудалённых от оснований, — а это в точности средняя линия трапеции (она параллельна основаниям и равноудалена от них, так как соединяет середины боковых сторон).

Значит $O$ принадлежит средней линии. $\blacksquare$

---

Итог: а) $BL/LC=AB/AC$; б) $AB=4$, $AC=10$, $BC=12$; в) $\angle AOB=90^\circ$ и $O\in$ средней линии — доказано через свойство биссектрисы (равноудалённость от сторон угла).

Если нужно, могу разобрать, как оформлять пункт в) через дополнительное построение (продление $BO$ до пересечения с $AD$) — это второй стандартный способ.

Задача 4

а) Теорема о биссектрисе угла треугольника

Формулировка. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Если AL — биссектриса угла A в треугольнике ABC (точка L лежит на BC), то

BL / LC = AB / AC.

Этим свойством пользуемся в пункте б).

---

б) Дано: AD и BK — биссектрисы, BD : DC = 2 : 5, AK : KC = 1 : 3, периметр равен 26

Обозначим стороны: a = BC, b = AC, c = AB.

1. Биссектриса AD выходит из вершины A, значит она делит сторону BC в отношении прилежащих сторон:

BD / DC = AB / AC = c / b = 2 / 5, то есть c : b = 2 : 5.

2. Биссектриса BK выходит из вершины B, значит она делит сторону AC:

AK / KC = AB / BC = c / a = 1 / 3, то есть c : a = 1 : 3.

3. Вводим общую часть. Из первого условия c = 2x, b = 5x. Из второго a = 3c = 6x.

4. Периметр:

6x + 5x + 2x = 13x = 26, откуда x = 2.

5. Стороны:

AB = 4, AC = 10, BC = 12.

Проверка: 4 + 10 = 14 > 12 — неравенство треугольника выполнено. BD : DC = 4 : 10 = 2 : 5 — верно. AK : KC = 4 : 12 = 1 : 3 — верно. Периметр 4 + 10 + 12 = 26 — верно.

Ответ: AB = 4, AC = 10, BC = 12.

---

в) Трапеция ABCD, AD параллельна BC, биссектрисы углов A и B пересекаются в точке O

1. Докажем, что угол AOB равен 90 градусов

Углы A и B трапеции прилежат к боковой стороне AB. Так как AD параллельна BC, эти углы — внутренние односторонние при секущей AB, значит

угол DAB + угол ABC = 180 градусов.

AO и BO — биссектрисы, поэтому

угол OAB = половина угла DAB, угол OBA = половина угла ABC.

Тогда сумма этих двух углов равна половине от 180 градусов, то есть 90 градусам.

В треугольнике AOB сумма углов 180 градусов, значит

угол AOB = 180 − 90 = 90 градусов. Что и требовалось доказать.

2. Докажем, что точка O лежит на средней линии

Вспомним свойство: любая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла.

Точка O лежит на биссектрисе угла A — значит расстояния от неё до прямых AB и AD равны. Точка O лежит и на биссектрисе угла B — значит расстояния от неё до прямых AB и BC равны.

Значит расстояние от O до AD равно расстоянию от O до BC. Обозначим его r.

Проведём через O прямую, параллельную основаниям. Она находится на расстоянии r от AD и на расстоянии r от BC, то есть это прямая, все точки которой одинаково удалены от оснований. А такой прямой в трапеции является средняя линия: она параллельна основаниям и проходит на равном расстоянии от каждого из них.

Следовательно, точка O лежит на средней линии. Что и требовалось доказать.

---

Итог: а) биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон; б) AB = 4, AC = 10, BC = 12; в) угол AOB = 90 градусов, и точка O лежит на средней линии трапеции — доказано через равноудалённость точки биссектрисы от сторон угла.

Если нужно, разберём пункт в) вторым способом: продлить BO до пересечения с AD и использовать равнобедренный треугольник.