Реши задание на изображении

Кратко: если в тетради записано
\[ V=\pi\int_0^{\pi/2}\cos^2 x\,dx, \] то \[ V=\frac{\pi^2}{4}. \]

Как решать:

1. Используем формулу понижения степени: \[ \cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}. \]

2. Тогда \[ \int \cos^2 x\,dx =\int \frac{1+\cos 2x}{2}\,dx =\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C. \]

3. Подставляем пределы \(0\) и \(\frac{\pi}{2}\): \[ \int_0^{\pi/2}\cos^2 x\,dx =\left[\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}\right]_0^{\pi/2} =\frac{\pi}{4}. \] Потому что \(\sin \pi=0\), а в нуле тоже \(0\).

4. Остаётся умножить на \(\pi\): \[ V=\pi\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi^2}{4}. \]

Проверка: на промежутке \([0;\pi/2]\) среднее значение \(\cos^2 x\) равно \(\frac12\), длина промежутка \(\frac{\pi}{2}\), значит интеграл равен \(\frac{\pi}{4}\). Всё сходится.

Если верхний предел в тетради всё-таки \(2\), а не \(\frac{\pi}{2}\), то \[ V=\pi\left(1+\frac{\sin 4}{4}\right). \]