X/4+x/8=3/2

Краткий ответ: \(x=-8\).

Решение:

\[ 3-5(x+1)=6-4x \]

1. Раскроем скобки. Минус перед скобкой меняет знаки у всех слагаемых внутри:

\[ 3-5x-5=6-4x \]

2. Приведём подобные слева:

\[ -2-5x=6-4x \]

3. Перенесём слагаемые с \(x\) влево, а числа — вправо (при переносе знак меняется):

\[ -5x+4x=6+2 \]

\[ -x=8 \]

4. Умножим обе части на \(-1\):

\[ x=-8 \]

Проверка:

Левая часть: \(3-5(-8+1)=3-5\cdot(-7)=3+35=38\).

Правая часть: \(6-4\cdot(-8)=6+32=38\).

Обе части равны \(38\), значит \(x=-8\) — верный корень.

Главное правило: минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого в скобках — именно здесь чаще всего теряют ошибку.

Краткий ответ: \(x_1=0,\ x_2=10\).

Решение:

\[ x^2-10x=0 \]

1. Вынесем общий множитель \(x\) за скобки:

\[ x(x-10)=0 \]

2. Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

\[ x=0 \quad \text{или} \quad x-10=0 \]

3. Отсюда:

\[ x_1=0,\qquad x_2=10 \]

Проверка:

• При \(x=0\): \(0^2-10\cdot0=0\) — верно.
• При \(x=10\): \(10^2-10\cdot10=100-100=0\) — верно.

Важно: нельзя просто делить обе части на \(x\) — так можно потерять корень \(x=0\). Лучше выносить общий множитель за скобки.

Краткий ответ: \(x_1=\sqrt{5},\quad x_2=-\sqrt{5}\).

Решение:

\[ 2x^2-10=0 \]

1. Перенесём число вправо:

\[ 2x^2=10 \]

2. Разделим обе части на \(2\):

\[ x^2=5 \]

3. Из уравнения \(x^2=a\) при \(a>0\) получаем два корня:

\[ x=\sqrt{5}\quad \text{или}\quad x=-\sqrt{5} \]

Проверка: при \(x^2=5\):

\[ 2\cdot 5-10=10-10=0 \]

Верно.

Главное: нельзя забывать второй, отрицательный корень — квадрат даёт одно и то же значение и для положительного, и для отрицательного числа.

Да, может. Минус относится не к корню как к «плохому числу», а просто к значению \(x\): \(x\) — переменная, она может быть и отрицательной.

Важно различать две записи:

• \(\sqrt{5}\approx 2{,}24\) — само по себе положительное число (знак корня всегда даёт неотрицательный результат);
• \(-\sqrt{5}\approx -2{,}24\) — отрицательное число, но оно тоже «законно», потому что это просто \(\sqrt{5}\) со знаком минус.

Почему оно подходит? Проверим:

\[ \left(-\sqrt{5}\right)^2=\left(\sqrt{5}\right)^2=5 \]

Квадрат «съедает» минус: \((-2{,}24)^2=5\), поэтому уравнение \(2x^2-10=0\) выполняется и при \(x=-\sqrt{5}\).

Итог: в ответе пишут оба корня:

\[ x_1=\sqrt{5},\qquad x_2=-\sqrt{5} \]

или коротко \(x=\pm\sqrt{5}\).

Единственный случай, когда отрицательный корень отбрасывают, — если по смыслу задачи \(x\) не может быть отрицательным: например, \(x\) обозначает длину стороны или по условию сказано \(x>0\). В чистом уравнении без таких ограничений оба корня обязательны.

Краткий ответ:

\[ x_1=\frac12,\qquad x_2=-2 \]

Решение через дискриминант:

\[ 2x^2+3x-2=0 \]

Здесь \(a=2,\ b=3,\ c=-2\).

1. Найдём дискриминант:

\[ D=b^2-4ac=3^2-4\cdot2\cdot(-2)=9+16=25 \]

2. Так как \(D>0\), корней два:

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} =\frac{-3\pm5}{4} \]

3. Считаем:

\[ x_1=\frac{-3+5}{4}=\frac{2}{4}=\frac12 \]

\[ x_2=\frac{-3-5}{4}=\frac{-8}{4}=-2 \]

Проверка:

• При \(x=\frac12\):

\[ 2\cdot\frac14+3\cdot\frac12-2=\frac12+\frac32-2=2-2=0 \]

• При \(x=-2\):

\[ 2\cdot4+3\cdot(-2)-2=8-6-2=0 \]

Оба корня подходят.

Можно и разложением:

\[ 2x^2+3x-2=(2x-1)(x+2) \]

Тогда \(2x-1=0\) или \(x+2=0\), откуда \(x=\frac12\) или \(x=-2\).

Краткий ответ:

\[ x_1=0,\qquad x_2=-1 \]

Решение:

\[ x^2+3=3-x \]

1. Перенесём все слагаемые в левую часть:

\[ x^2+3-3+x=0 \]

2. Упростим:

\[ x^2+x=0 \]

3. Вынесем \(x\) за скобки:

\[ x(x+1)=0 \]

4. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

\[ x=0 \quad \text{или} \quad x+1=0 \]

Отсюда:

\[ x_1=0,\qquad x_2=-1 \]

Проверка:

• При \(x=0\):

\[ 0^2+3=3,\qquad 3-0=3 \]

Верно.

• При \(x=-1\):

\[ (-1)^2+3=1+3=4,\qquad 3-(-1)=4 \]

Верно.

Главное: сначала переносим всё в одну сторону и приводим подобные, а потом решаем уравнение \(x(x+1)=0\).

Краткий ответ:

\[ x_1=-\frac13,\qquad x_2=\frac32 \]

Решение:

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

\[ (3x+1)(6-4x)=0 \]

Значит:

\[ 3x+1=0 \quad \text{или} \quad 6-4x=0 \]

1. Решим первое:

\[ 3x=-1 \]

\[ x=-\frac13 \]

2. Решим второе:

\[ 6-4x=0 \]

\[ 4x=6 \]

\[ x=\frac64=\frac32 \]

Проверка:

• При \(x=-\frac13\):

\[ 3\cdot\left(-\frac13\right)+1=-1+1=0 \]

Произведение равно \(0\).

• При \(x=\frac32\):

\[ 6-4\cdot\frac32=6-6=0 \]

Произведение тоже равно \(0\).

Ответ:

\[ \boxed{x_1=-\frac13,\quad x_2=\frac32} \]

Главное правило: если произведение равно нулю, то приравниваем к нулю каждый множитель и решаем получившиеся уравнения.

Если запись означает именно

\[ \frac6x+5=\frac43-x, \]

то действительных корней нет.

Решение:

ОДЗ: \(x\ne 0\). Умножим обе части на \(3x\):

\[ 18+15x=4x-3x^2 \]

Перенесём всё в одну сторону:

\[ 3x^2+11x+18=0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D=11^2-4\cdot3\cdot18=121-216=-95<0 \]

Так как \(D<0\), уравнение не имеет действительных корней.

Уточни, пожалуйста: скобок нет случайно? Если в задании было

\[ \frac6{x+5}=\frac4{3-x}, \]

то ответ будет \(x=-\frac15\).

Краткий ответ:

\[ x=-\frac15 \]

Считаю запись как

\[ \frac{6}{x+5}=\frac{4}{3-x}. \]

Решение:

1. ОДЗ:

\[ x+5\ne0 \Rightarrow x\ne-5,\qquad 3-x\ne0 \Rightarrow x\ne3. \]

2. Умножим крест-накрест:

\[ 6(3-x)=4(x+5) \]

3. Раскроем скобки:

\[ 18-6x=4x+20 \]

4. Перенесём слагаемые с \(x\) влево, а числа вправо:

\[ -6x-4x=20-18 \]

\[ -10x=2 \]

5. Разделим на \(-10\):

\[ x=-\frac{2}{10}=-\frac15 \]

Проверка:

При \(x=-\frac15\):

\[ x+5=-\frac15+5=\frac{24}{5} \]

\[ \frac{6}{x+5}=\frac{6}{24/5}=\frac{6\cdot5}{24}=\frac54 \]

\[ 3-x=3+\frac15=\frac{16}{5} \]

\[ \frac{4}{3-x}=\frac{4}{16/5}=\frac{4\cdot5}{16}=\frac54 \]

Обе части равны \(\frac54\), значит корень найден верно.

Ответ:

\[ \boxed{x=-\frac15} \]

Если же в задании имелось в виду \(\frac6x+5=\frac43-x\), то там действительных корней нет — но при такой расстановке скобок, как ты прислал сейчас, ответ \(-\frac15\).

Можно, но не вместо системы, а вместе с ней. Фигурная скобка означает «условия выполняются одновременно», а \(\Leftrightarrow\) — «равносильно». Это разные вещи.

Корректно записать так:

\[ \begin{cases} x+5\ne 0,\\ 3-x\ne 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x\ne -5,\\ x\ne 3. \end{cases} \]

Или короче:

\[ x\ne -5 \quad \text{и} \quad x\ne 3, \]

то есть

\[ x\in \mathbb{R}\setminus\{-5;3\}. \]

А запись вида

\[ x+5\ne0 \Leftrightarrow 3-x\ne0 \]

неудачна: она выглядит так, будто одно условие равносильно другому, а не так, что нужны оба сразу.

Итог: ОДЗ оформляй системой; знак \(\Leftrightarrow\) можно поставить между системой и её упрощённым видом.