@ߩ߇߄ߜߢߠߕ:x2 = x + 7 Так x = 1 и x = -2 V = π112 (9-x2) 2 - (x + 7) 2dx V = π12 (x4-18x2 + 81) - (x2 + 14x + 49) dx V = pi / 12 (x4 - 19x2 - 14x + 32) dx19 V = x [-x-12 y = x + 79 - x2 = x + 7 Тогда x = 1 и x = -2 V = π112 (9-x2) 2 - (x + 7) 2dx V = π12 (x4-18x2 + 81) - (x2 + 14x + 49) dx V = pi / 12 (x4 - 19x2 - 14x + 32) dx 19 V = x [-x-12x3-7 y = x + 79 - x2 = x + 7 Тогда x = 1 и x = -2 V = π112 (9-x2) 2 - (x + 7) 2dx V = π12 (x4-18x2 + 81) - (x2 + 14x + 49) dx V = pi / 12 (x4 - 19x2 - 14x + 32 9 - x2 y = x + 79 - x2 = x + 7 Тогда x = 1 и x -2 V = π112 (9-x2) 2 - (x + 7) 2dx V = π12 (x4-18x2 + 81) - (x2 + 14x 49 +) dx = pi / 12 (X4 - x2 - 14x + 32) dx19 В = x [-x-12 y = x + 79 - x2 = x + 7 Тогда x = 1 и x = -2 В = π112 (9-x2) 2 - (x + 7) 2dx V = π12 (x4-18x2 + 81) - (x2 + 14x + 49) dx V = pi / 12 (x4 - 19x2 - 14x + 32) dx 19 V = x [-x-12x3-7 y = x + 79 - x2 = x + 7 Тогда x = 1 и x = -2 V = π112 (9-x2) 2 - (x + 7) 2dx V = π12 (x4-18x2 + 81) - (x2 + 14x + 49) dx V = pi / 12 (x4 - 19x2 - 14x + 32) как вы знаете 9 - x2 производит y = x + 79 - x2 = x + 7 Затем x = 1 и x -2 V = π112 (9-x2) 2 - (x + 7) 2dx V = π12 (x4-18x2 + 81) - (x2 + 14x + 49) dpi = 12 (x4 - 19x2 - 14x + 32) dx19 В = x [-x-12 y = x + 79 - x2 = x + 7 Тогда x = 1 и x = -2 В = π112 (9-x2) 2 - (x + 7) 2dx V = 12 (x4-18x2 + 81) - (x2 + 14x + 49) dx V = pi / 12 (x4 - 19x2 - 14x + 32) dx 19 V = x [-x-12x3-7 y = x + 79 - x2 = x + 7 Тогда x = 1 и x = -2 V = π112 (9-x2) 2 - (x + 7) 2dx V = π12 (x4-18x2 + 81) - (x2 + 14x + 49) dx V = pi / 12 (x4 - 19x2 - 14x + y = x + 79 - x2 = x + 7 Тогда x = 1 и x = -2 V = π112 (9-x2) 2 - (x + 7) 2dx V = π12 (x4-18x2 + 81) - (x2 + 14x + 49) dx V = pi / 12 (19x4 - x2 - 14x + 32) dx19 V = x [-x-12 y = x + 79 - x2 = x + 7 Тогда x = 1 и x = -2 V = π112 (9-x2) 2 - (x + 7) 2dx V = 12 (x4-18x2 + 81) - (x2 + 14x + 49) dx V = pi / 12 (x4 - 19x2 - 14x + 32) dx 19 V = x [-x-12x3-7 y = x + 79 - x2 = x + 7 Тогда x = 1 и x =:y = x + 79 - x2 = x + 7 Так x = 1 x = -2 V = π112 (9-x2) 2 - (x + 7) 2dx V = π12 (x4-18x2 + 81) - (x2 + 14x + 49) dx-2 V = π112 (9-x2) 2 - (x + 7) 2dx V = π12 (x4-18x2 + 81) - (x2 + 14x + 49) dx V = pi / 12 (x4 - 19x2 - 14x + 32) =
Если область между \(y=9-x^2\) и \(y=x+7\) вращается вокруг оси \(Ox\), то
\[ \boxed{V=\frac{333\pi}{5}\approx 209{,}2} \]
кубических единиц.
Как это получается
- Найдём точки пересечения графиков:
\[ 9-x^2=x+7 \]
\[ x^2+x-2=0 \]
\[ (x-1)(x+2)=0, \]
поэтому
\[ x=-2,\qquad x=1. \]
На отрезке \([-2;1]\) верхняя граница — \(y=9-x^2\), нижняя — \(y=x+7\).
- При вращении вокруг \(Ox\) используем метод «шайб»:
\[ V=\pi\int_{-2}^{1}\left((9-x^2)^2-(x+7)^2\right)\,dx. \]
- Раскрываем квадраты:
\[ (9-x^2)^2=81-18x^2+x^4, \]
\[ (x+7)^2=x^2+14x+49. \]
Тогда
\[ (9-x^2)^2-(x+7)^2 =x^4-19x^2-14x+32. \]
- Интегрируем:
\[ V=\pi\int_{-2}^{1}(x^4-19x^2-14x+32)\,dx. \]
Первообразная:
\[ F(x)=\frac{x^5}{5}-\frac{19x^3}{3}-7x^2+32x. \]
\[ F(1)=\frac{283}{15}, \qquad F(-2)=-\frac{716}{15}. \]
Значит,
\[ \int_{-2}^{1}(x^4-19x^2-14x+32)\,dx =\frac{283}{15}-\left(-\frac{716}{15}\right) =\frac{999}{15} =\frac{333}{5}. \]
Следовательно,
\[ \boxed{V=\pi\cdot\frac{333}{5}=\frac{333\pi}{5}}. \]
Проверка идеи: на концах \(x=-2\) и \(x=1\) графики пересекаются, поэтому радиусы «шайбы» совпадают и подынтегральное выражение там равно \(0\). Между этими точками область не нулевая, поэтому объём положительный.
Обсуждение
2 сообщенияЕсли область между \(y=9-x^2\) и \(y=x+7\) вращается вокруг оси \(Ox\), то \[ \boxed{V=\frac{333\pi}{5}\approx 209{,}2} \] кубических единиц. **Как это получается** 1. Найдём точки пересечения графиков: \[ 9-x^2=x+7 \] \[ x^2+x-2=0 \] \[ (x-1)(x+2)=0, \] поэтому \[ x=-2,\qquad x=1. \] На отрезке \([-2;1]\) верхняя граница — \(y=9-x^2\), нижняя — \(y=x+7\). 2. При вращении вокруг \(Ox\) используем метод «шайб»: \[ V=\pi\int_{-2}^{1}\left((9-x^2)^2-(x+7)^2\right)\,dx. \] 3. Раскрываем квадраты: \[ (9-x^2)^2=81-18x^2+x^4, \] \[ (x+7)^2=x^2+14x+49. \] Тогда \[ (9-x^2)^2-(x+7)^2 =x^4-19x^2-14x+32. \] 4. Интегрируем: \[ V=\pi\int_{-2}^{1}(x^4-19x^2-14x+32)\,dx. \] Первообразная: \[ F(x)=\frac{x^5}{5}-\frac{19x^3}{3}-7x^2+32x. \] \[ F(1)=\frac{283}{15}, \qquad F(-2)=-\frac{716}{15}. \] Значит, \[ \int_{-2}^{1}(x^4-19x^2-14x+32)\,dx =\frac{283}{15}-\left(-\frac{716}{15}\right) =\frac{999}{15} =\frac{333}{5}. \] Следовательно, \[ \boxed{V=\pi\cdot\frac{333}{5}=\frac{333\pi}{5}}. \] **Проверка идеи:** на концах \(x=-2\) и \(x=1\) графики пересекаются, поэтому радиусы «шайбы» совпадают и подынтегральное выражение там равно \(0\). Между этими точками область не нулевая, поэтому объём положительный.
Да, это верный ответ: \(\displaystyle V=\frac{333\pi}{5}\).
Что нужно дальше — объяснить какой-то шаг подробнее или решить похожую задачу?
