Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ
\[x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,\; x_2=3.\]Как рассуждать
Способ 1. По теореме Виета. Для приведённого уравнения \(x^2+px+q=0\) сумма корней равна \(-p\), а произведение — \(q\):
\[x_1+x_2=5,\qquad x_1\cdot x_2=6.\]Подбираем два числа: их сумма 5, произведение 6. Это \(2\) и \(3\), поскольку \(2+3=5\) и \(2\cdot3=6\).
Способ 2. Через дискриминант. Здесь \(a=1,\ b=-5,\ c=6\):
\[D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1.\]Так как \(D>0\), корней два:
\[x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm1}{2}.\]Отсюда \(x_1=\frac{5-1}{2}=2\), \(x_2=\frac{5+1}{2}=3\).
Проверка
- \(x=2\): \(4-10+6=0\) ✔
- \(x=3\): \(9-15+6=0\) ✔
Принцип: у приведённого квадратного уравнения корни удобно искать по Виету (сумма \(=-p\), произведение \(=q\)), а дискриминант показывает, сколько корней: \(D>0\) — два, \(D=0\) — один, \(D<0\) — нет действительных корней.
Обсуждение
2 сообщенияЧто делать, если дискриминант отрицательный?
Краткий ответ
Если \(D<0\), то действительных корней нет — в ответе так и пишут: «корней нет» (точнее: «нет действительных корней»). Уравнение в этом случае решить нельзя, но это не ошибка: так бывает.
Почему так
В формуле корней дискриминант стоит под знаком квадратного корня:
\[x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}.\]Среди действительных чисел нельзя извлечь корень из отрицательного числа (нет такого числа, квадрат которого отрицателен). Значит, формула «не срабатывает» — и корней нет.
То же видно при выделении полного квадрата. Например, для \(x^2+4x+5=0\):
\[x^2+4x+5=(x+2)^2+1.\]Квадрат всегда \(\ge 0\), значит вся сумма \(\ge 1>0\) — она никогда не равна нулю.
Пример
\[x^2+4x+5=0,\qquad a=1,\ b=4,\ c=5.\] \[D=4^2-4\cdot1\cdot5=16-20=-4<0.\]Ответ: действительных корней нет.
Геометрический смысл
Корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\) — это точки, где парабола пересекает ось \(Ox\). Тогда:
- \(D>0\) — парабола пересекает ось в двух точках (два корня);
- \(D=0\) — касается оси в одной точке (один корень, он же вершина);
- \(D<0\) — парабола целиком лежит выше оси (при \(a>0\)) или целиком ниже (при \(a<0\)) — пересечений нет.
Полезно запомнить: ордината вершины равна \(-\dfrac{D}{4a}\), поэтому при \(D<0\) вершина находится по ту же сторону от оси, что и ветви.
Что писать в ответе
- Вычислили \(D\).
- Если \(D<0\) — пишете: «так как \(D<0\), уравнение не имеет действительных корней».
- Не пытайтесь «подобрать» корни или взять \(\sqrt{D}\) по модулю — это ошибка.
Небольшое дополнение на будущее: в старших классах и в вузе вводят комплексные числа, и тогда при \(D<0\) корни тоже есть, только комплексные: например, для \(x^2-4x+13=0\) получим \(x_{1,2}=2\pm 3i\). В школьном курсе 8 класса этого не требуется — ответ «корней нет» правильный.
