Реши задание на изображении

Краткие ответы

1. а) \(x=-8;\ 0;\ 8\)
   б) \(x=-\dfrac{11}{2};\ 4\)

2. а) \(x=-2;\ 2;\ 7\)
   б) \(x=-1;\ 1\)

3. а) \(x=-4;\ -2;\ 2;\ 4\)
   б) \(x=-5;\ -2;\ 2;\ 5\)

4. \(x=1\)

Решение и принцип

№1

а)
\[ x^3-64x=0 \] Вынесем \(x\): \[ x(x^2-64)=0 \] \[ x(x-8)(x+8)=0 \] Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: \[ x=0,\quad x=8,\quad x=-8 \]

б)
\[ \frac{x^2-4}{3}-\frac{6-x}{2}=3 \] Умножим обе части на \(6\): \[ 2(x^2-4)-3(6-x)=18 \] \[ 2x^2-8-18+3x=18 \] \[ 2x^2+3x-44=0 \] \[ D=3^2-4\cdot2\cdot(-44)=361=19^2 \] \[ x=\frac{-3\pm 19}{4} \] Отсюда: \[ x=4,\qquad x=-\frac{11}{2} \]

№2

а)
\[ x^3-7x^2-4x+28=0 \] Сгруппируем: \[ x^2(x-7)-4(x-7)=0 \] \[ (x-7)(x^2-4)=0 \] \[ (x-7)(x-2)(x+2)=0 \] Корни: \[ x=7,\quad x=2,\quad x=-2 \]

б)
\[ x^6+6x^4-x^2-6=0 \] Так как степени чётные, сделаем замену: \[ t=x^2,\quad t\ge0 \] Получим: \[ t^3+6t^2-t-6=0 \] Сгруппируем: \[ t^2(t+6)-(t+6)=0 \] \[ (t+6)(t^2-1)=0 \] Значит: \[ t=-6,\quad t=1,\quad t=-1 \] Но \(t=x^2\ge0\), поэтому подходит только: \[ t=1 \] Тогда: \[ x^2=1 \] \[ x=\pm1 \]

№3

Это биквадратные уравнения, поэтому везде делаем замену \(t=x^2\), \(t\ge0\).

а)
\[ x^4-20x^2+64=0 \] Пусть \(t=x^2\): \[ t^2-20t+64=0 \] \[ D=400-256=144=12^2 \] \[ t=\frac{20\pm12}{2} \] \[ t=16,\quad t=4 \] Тогда: \[ x^2=16 \Rightarrow x=\pm4 \] \[ x^2=4 \Rightarrow x=\pm2 \]

б)
\[ x^4-29x^2+100=0 \] Пусть \(t=x^2\): \[ t^2-29t+100=0 \] \[ D=29^2-4\cdot100=841-400=441=21^2 \] \[ t=\frac{29\pm21}{2} \] \[ t=25,\quad t=4 \] Тогда: \[ x^2=25 \Rightarrow x=\pm5 \] \[ x^2=4 \Rightarrow x=\pm2 \]

№4

\[ \frac{x}{x+2}+\frac{x+2}{x-2}=\frac{8}{x^2-4} \]

Сначала ОДЗ: \[ x\ne -2,\qquad x\ne2 \]

Умножим обе части на \((x-2)(x+2)\): \[ x(x-2)+(x+2)^2=8 \] \[ x^2-2x+x^2+4x+4=8 \] \[ 2x^2+2x-4=0 \] Разделим на \(2\): \[ x^2+x-2=0 \] \[ (x+2)(x-1)=0 \] Получаем: \[ x=-2,\quad x=1 \] Но \(x=-2\) не входит в ОДЗ, поэтому остаётся только: \[ x=1 \]

Проверка: \[ \frac13+\frac{3}{-1}=-\frac83 \] \[ \frac{8}{1-4}=-\frac83 \] Верно.

Главное правило: при решении дробных уравнений всегда сначала записываем ОДЗ, а после нахождения корней проверяем, не обращают ли они знаменатель в нуль.