Сделай с дано по учебнику 8 класса геометрии

Ниже — решения по карточке 2 варианта, оформленные с «Дано», «Найти» и «Решение».

1. Стороны параллелограмма

Дано:
\(ABCD\) — параллелограмм;
одна сторона на \(7\) см меньше другой;
\(P=54\) см.

Найти: стороны параллелограмма.

Решение:
Пусть меньшая сторона равна \(x\) см, тогда большая — \(x+7\) см.
Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому:

\[ 2(x+x+7)=54 \]

\[ 2x+7=27 \]

\[ 2x=20 \]

\[ x=10 \]

Тогда большая сторона:

\[ 10+7=17 \]

Ответ: стороны параллелограмма равны \(10\) см и \(17\) см, то есть две стороны по \(10\) см и две по \(17\) см.

Проверка:

\[ 2(10+17)=2\cdot 27=54 \]

---

2. Периметр треугольника \(COD\)

Дано:
\(ABCD\) — прямоугольник;
\(AC\cap BD=O\);
\(AB=10\) см;
\(BD=12\) см.

Найти: \(P_{\triangle COD}\).

Решение:
В прямоугольнике диагонали равны:

\[ AC=BD=12\text{ см} \]

Точка пересечения диагоналей делит каждую пополам:

\[ OC=\frac{AC}{2}=6\text{ см} \]

\[ OD=\frac{BD}{2}=6\text{ см} \]

Противоположные стороны прямоугольника равны:

\[ CD=AB=10\text{ см} \]

Тогда:

\[ P_{\triangle COD}=OC+OD+CD \]

\[ P_{\triangle COD}=6+6+10=22\text{ см} \]

Ответ: \(22\) см.

---

3. Углы между стороной ромба и диагоналями

Дано:
\(ABCD\) — ромб;
один из углов ромба равен \(132^\circ\).

Найти: углы, которые образует сторона ромба с его диагоналями.

Решение:
Пусть \(\angle A=132^\circ\).

Диагональ ромба является биссектрисой его угла, значит:

\[ \angle BAC=\frac{132^\circ}{2}=66^\circ \]

Соседний угол ромба:

\[ \angle B=180^\circ-132^\circ=48^\circ \]

Вторая диагональ делит этот угол пополам:

\[ \angle ABD=\frac{48^\circ}{2}=24^\circ \]

Значит, сторона ромба образует с диагоналями углы \(66^\circ\) и \(24^\circ\).

Ответ: \(66^\circ\) и \(24^\circ\).

---

4. Четвёртый угол четырёхугольника

Дано:
три угла четырёхугольника равны \(68^\circ,\ 87^\circ,\ 125^\circ\).

Найти: четвёртый угол.

Решение:
Сумма углов четырёхугольника равна \(360^\circ\).

\[ 68^\circ+87^\circ+125^\circ=280^\circ \]

\[ 360^\circ-280^\circ=80^\circ \]

Ответ: \(80^\circ\).

Проверка:

\[ 68^\circ+87^\circ+125^\circ+80^\circ=360^\circ \]

---

5. Неизвестные углы четырёхугольника

Дано:
\(ABCD\) — четырёхугольник;
\(\angle B=146^\circ\);
\(\angle C\) на \(32^\circ\) больше \(\angle A\);
\(\angle C\) в \(4\) раза меньше \(\angle D\).

Найти: \(\angle A,\ \angle C,\ \angle D\).

Решение:
Пусть:

\[ \angle A=x \]

Тогда:

\[ \angle C=x+32^\circ \]

Так как \(\angle C\) в \(4\) раза меньше \(\angle D\), то:

\[ \angle D=4\angle C=4(x+32^\circ) \]

Сумма углов четырёхугольника равна \(360^\circ\):

\[ x+146^\circ+(x+32^\circ)+4(x+32^\circ)=360^\circ \]

Раскрываем скобки:

\[ x+146+x+32+4x+128=360 \]

\[ 6x+306=360 \]

\[ 6x=54 \]

\[ x=9 \]

Значит:

\[ \angle A=9^\circ \]

\[ \angle C=9^\circ+32^\circ=41^\circ \]

\[ \angle D=4\cdot 41^\circ=164^\circ \]

Ответ:

\[ \angle A=9^\circ,\qquad \angle C=41^\circ,\qquad \angle D=164^\circ \]

Проверка:

\[ 9^\circ+146^\circ+41^\circ+164^\circ=360^\circ \]

---

Краткие ответы

1. \(10\) см и \(17\) см.
2. \(22\) см.
3. \(66^\circ\) и \(24^\circ\).
4. \(80^\circ\).
5. \(\angle A=9^\circ,\ \angle C=41^\circ,\ \angle D=164^\circ\).

Контрольная работа №1. Геометрия, 8 класс. «Четырёхугольники». Вариант 3

1. Стороны параллелограмма

Дано:
\(ABCD\) — параллелограмм;
одна сторона в \(6\) раз больше другой;
\(P=84\) см.

Найти: стороны параллелограмма.

Решение:
Пусть меньшая сторона равна \(x\) см, тогда большая — \(6x\) см.
Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому:

\[ P=2(x+6x)=14x \]

\[ 14x=84 \]

\[ x=6 \]

Тогда большая сторона:

\[ 6x=6\cdot6=36 \]

Ответ: стороны параллелограмма равны \(6\) см и \(36\) см, то есть две стороны по \(6\) см и две по \(36\) см.

Проверка:

\[ 2(6+36)=2\cdot42=84 \]

---

2. Периметр треугольника \(AOD\)

Дано:
\(ABCD\) — прямоугольник;
\(AC\cap BD=O\);
\(BC=16\) см;
\(AC=24\) см.

Найти: \(P_{\triangle AOD}\).

Решение:
В прямоугольнике диагонали равны:

\[ AC=BD=24\text{ см} \]

Точка пересечения диагоналей делит каждую пополам, значит:

\[ AO=\frac{AC}{2}=12\text{ см} \]

\[ OD=\frac{BD}{2}=12\text{ см} \]

Противоположные стороны прямоугольника равны:

\[ AD=BC=16\text{ см} \]

Тогда:

\[ P_{\triangle AOD}=AO+OD+AD \]

\[ P_{\triangle AOD}=12+12+16=40\text{ см} \]

Ответ: \(40\) см.

---

3. Углы между стороной ромба и его диагоналями

Дано:
\(ABCD\) — ромб;
один из его углов равен \(64^\circ\).

Найти: углы, которые образует сторона ромба с диагоналями.

Решение:
Пусть \(\angle A=64^\circ\).
Диагональ ромба является биссектрисой его угла, поэтому она делит \(\angle A\) пополам:

\[ \angle BAC=\frac{64^\circ}{2}=32^\circ \]

Соседний угол ромба:

\[ \angle B=180^\circ-64^\circ=116^\circ \]

Вторая диагональ делит \(\angle B\) пополам:

\[ \angle ABD=\frac{116^\circ}{2}=58^\circ \]

Ответ: сторона ромба образует с диагоналями углы \(32^\circ\) и \(58^\circ\).

Проверка: диагонали ромба перпендикулярны, поэтому

\[ 32^\circ+58^\circ=90^\circ \]

---

4. Четвёртый угол четырёхугольника

Дано:
три угла четырёхугольника равны \(59^\circ,\ 138^\circ,\ 152^\circ\).

Найти: четвёртый угол.

Решение:
Сумма углов четырёхугольника равна \(360^\circ\).

\[ 59^\circ+138^\circ+152^\circ=349^\circ \]

\[ 360^\circ-349^\circ=11^\circ \]

Ответ: \(11^\circ\).

---

5. Неизвестные углы четырёхугольника

Дано:
\(ABCD\) — четырёхугольник;
\(\angle A=106^\circ\);
\(\angle B\) на \(34^\circ\) меньше \(\angle C\);
\(\angle B\) в \(2\) раза больше \(\angle D\).

Найти: \(\angle B,\ \angle C,\ \angle D\).

Решение:
Пусть \(\angle B=x\).
Тогда:

\[ \angle C=x+34^\circ \]

Так как \(\angle B\) в \(2\) раза больше \(\angle D\), то:

\[ \angle D=\frac{x}{2} \]

Сумма углов четырёхугольника:

\[ 106^\circ+x+(x+34^\circ)+\frac{x}{2}=360^\circ \]

\[ 2x+\frac{x}{2}+140^\circ=360^\circ \]

\[ \frac{5x}{2}=220^\circ \]

\[ x=88^\circ \]

Значит:

\[ \angle B=88^\circ \]

\[ \angle C=88^\circ+34^\circ=122^\circ \]

\[ \angle D=\frac{88^\circ}{2}=44^\circ \]

Ответ:

\[ \angle B=88^\circ,\qquad \angle C=122^\circ,\qquad \angle D=44^\circ \]

Проверка:

\[ 106^\circ+88^\circ+122^\circ+44^\circ=360^\circ \]

---

Краткие ответы

1. \(6\) см и \(36\) см.
2. \(40\) см.
3. \(32^\circ\) и \(58^\circ\).
4. \(11^\circ\).
5. \(\angle B=88^\circ,\ \angle C=122^\circ,\ \angle D=44^\circ\).