Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ: \(x_1=2,\; x_2=3\).
Как рассуждать
Дано квадратное уравнение:
\[ x^2-5x+6=0 \]
Здесь:
\[ a=1,\quad b=-5,\quad c=6 \]
Способ 1. Через дискриминант
Формула:
\[ D=b^2-4ac \]
\[ D=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \]
Корни:
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} \]
\[ x_{1,2}=\frac{5\pm1}{2} \]
\[ x_1=\frac{5+1}{2}=3,\qquad x_2=\frac{5-1}{2}=2 \]
Способ 2. Разложение на множители
Нужно представить:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Проверим раскрытием скобок:
\[ (x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6 \]
Значит:
\[ (x-2)(x-3)=0 \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0 \]
\[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3 \]
Проверка
Для \(x=2\):
\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0 \]
Для \(x=3\):
\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0 \]
Оба корня подходят.
Ответ: \(x_1=2,\; x_2=3\).
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Если ты про переход
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3), \]
то \(x\) — это та же самая неизвестная, которая уже была в исходном уравнении. Мы не вводим новую букву и пока не находим \(x\). Мы просто переписываем выражение \(x^2-5x+6\) в другом виде — в виде произведения.
1. Почему \(x\) остаётся в скобках?
Потому что \(x\) — это переменная. Например, если бы мы подставили \(x=5\), то получили бы:
\[ x^2-5x+6=5^2-5\cdot5+6=25-25+6=6. \]
И по скобкам:
\[ (x-2)(x-3)=(5-2)(5-3)=3\cdot2=6. \]
Получилось одинаково. Значит, равенство
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
верно при любом \(x\). Это не уравнение, а тождество — просто другая запись того же выражения.
2. Откуда взялись именно \(x-2\) и \(x-3\)?
Раскроем скобки обратно:
\[ (x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6. \]
Всё совпало. Поэтому
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Числа \(2\) и \(3\) подобраны потому, что:
- \(2\cdot3=6\) — это свободный член;
- \(2+3=5\) — число перед \(x\), только со знаком минус.
3. Почему теперь можно приравнять каждую скобку к нулю?
Исходное уравнение:
\[ x^2-5x+6=0 \]
превращается в:
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
То есть произведение двух чисел равно нулю. А произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0. \]
Отсюда:
\[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3. \]
То есть \(x\) никуда не исчезал: сначала он был внутри выражения \(x^2-5x+6\), а потом оказался внутри множителей \(x-2\) и \(x-3\). Это одна и та же переменная.
Коротко: \(x\) — это неизвестное число из уравнения. Запись \((x-2)(x-3)\) — просто разложенный на множители квадратный трёхчлен. Когда произведение равно нулю, одна из скобок должна обнулиться, поэтому \(x=2\) или \(x=3\).
