Реши задание на изображении

Краткий ответ

а) \(x=\pm 2\)
б) \(t=-1;\ 1;\ 3\)
в) \(x=-3;\ 2\)
г) \(x=-\dfrac32;\ 1;\ \dfrac{-1-\sqrt{17}}4;\ \dfrac{-1+\sqrt{17}}4\)

Как решать

Главная идея: если одно и то же выражение повторяется, обозначаем его новой переменной \(y\). Получаем квадратное уравнение относительно \(y\), решаем его, а потом возвращаемся к исходной переменной. В конце отбрасываем ветви, где действительных корней нет.

а)
\[ (2x^2+3)^2-12(2x^2+3)+11=0 \] Пусть \[ y=2x^2+3. \] Тогда \[ y^2-12y+11=0, \] \[ (y-1)(y-11)=0. \] Значит, \(y=1\) или \(y=11\).

Но \(y=2x^2+3\ge 3\), поэтому \(y=1\) не подходит:
\[ 2x^2+3=1 \Rightarrow x^2=-1 \] — действительных корней нет.

Остаётся: \[ 2x^2+3=11, \] \[ 2x^2=8,\qquad x^2=4,\qquad x=\pm2. \]

Ответ а): \(x=\pm2\).

б)
\[ (t^2-2t)^2-3=2(t^2-2t) \] Пусть \[ y=t^2-2t. \] Тогда \[ y^2-3=2y, \] \[ y^2-2y-3=0, \] \[ (y-3)(y+1)=0. \] Значит, \(y=3\) или \(y=-1\).

1. \(t^2-2t=3\): \[ t^2-2t-3=0, \] \[ (t-3)(t+1)=0, \] \[ t=3,\quad t=-1. \]

2. \(t^2-2t=-1\): \[ t^2-2t+1=0, \] \[ (t-1)^2=0, \] \[ t=1. \]

Ответ б): \(t=-1;\ 1;\ 3\).

в)
\[ (x^2+x-1)(x^2+x+2)=40 \] Пусть \[ y=x^2+x. \] Тогда \[ (y-1)(y+2)=40, \] \[ y^2+y-2=40, \] \[ y^2+y-42=0, \] \[ (y+7)(y-6)=0. \] Значит, \(y=-7\) или \(y=6\).

1. \(x^2+x=-7\): \[ x^2+x+7=0, \] \[ D=1-28=-27<0 \] — действительных корней нет.

2. \(x^2+x=6\): \[ x^2+x-6=0, \] \[ (x+3)(x-2)=0, \] \[ x=-3,\quad x=2. \]

Ответ в): \(x=-3;\ 2\).

г)
\[ (2x^2+x-1)(2x^2+x-4)+2=0 \] Пусть \[ y=2x^2+x. \] Тогда \[ (y-1)(y-4)+2=0, \] \[ y^2-5y+4+2=0, \] \[ y^2-5y+6=0, \] \[ (y-2)(y-3)=0. \] Значит, \(y=2\) или \(y=3\).

1. \(2x^2+x=2\): \[ 2x^2+x-2=0, \] \[ D=1+16=17, \] \[ x=\frac{-1\pm\sqrt{17}}4. \]

2. \(2x^2+x=3\): \[ 2x^2+x-3=0, \] \[ D=1+24=25, \] \[ x=\frac{-1\pm5}{4}. \] Отсюда: \[ x=1,\qquad x=-\frac32. \]

Ответ г): \[ x=-\frac32;\quad x=1;\quad x=\frac{-1-\sqrt{17}}4;\quad x=\frac{-1+\sqrt{17}}4. \]

Все оставшиеся корни получены равносильными переходами и подходят к исходным уравнениям.