Свойства бисектрисы в треугольнике

Коротко. В треугольнике \(ABC\) отрезок \(AD\) — биссектриса угла \(A\), если
\[ \angle BAD=\angle DAC. \]

Главные свойства:

1. Биссектриса делит угол пополам.
2. Любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Верно и обратное: если точка внутри угла равноудалена от его сторон, она лежит на биссектрисе.
3. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка равноудалена от всех сторон треугольника и является центром вписанной окружности.
4. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон: \[ \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}. \]
5. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, одновременно является медианой и высотой. В произвольном треугольнике это не так.

Почему это работает

• Если точка лежит на биссектрисе, опустим из неё перпендикуляры к сторонам угла. Получаются два равных прямоугольных треугольника, поэтому перпендикуляры равны. Значит, точка равноудалена от сторон.
• Пусть две биссектрисы пересеклись в точке \(I\). Она равноудалена от сторон углов \(A\) и \(B\), значит, равноудалена от всех трёх сторон треугольника. Поэтому она лежит и на третьей биссектрисе.
• Для свойства \(BD:DC=AB:AC\) сравним площади: \[ S_{ABD}:S_{ACD}=BD:DC, \] потому что высота из \(A\) к прямой \(BC\) общая.
  С другой стороны, \(D\) лежит на биссектрисе, поэтому расстояния от \(D\) до \(AB\) и \(AC\) равны, и \[ S_{ABD}:S_{ACD}=AB:AC. \] Отсюда \(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\).

Пример. Пусть \(AB=6\), \(AC=9\), \(BC=10\), \(AD\) — биссектриса. Тогда \[ BD:DC=6:9=2:3. \] Всего \(2+3=5\) частей, поэтому \[ BD=10\cdot\frac{2}{5}=4,\qquad DC=10\cdot\frac{3}{5}=6. \]

Проверка: \(BD+DC=4+6=10\) и \(\frac{BD}{DC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}=\frac{6}{9}=\frac{AB}{AC}\). Всё сходится.

Не путать: биссектриса — не всегда медиана или высота. Совпадение бывает только в равнобедренном треугольнике для биссектрисы, проведённой к основанию, и в равностороннем — для всех трёх.