Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Ответ: \(x_1 = 2,\; x_2 = 3\).

Как рассуждаем (три способа — все дают одно и то же)

1. По теореме Виета (работает, когда коэффициент при \(x^2\) равен 1): для уравнения \(x^2 + bx + c = 0\) \[x_1 + x_2 = -b,\qquad x_1 \cdot x_2 = c.\] У нас \(b = -5,\; c = 6\), значит: \[x_1 + x_2 = 5,\qquad x_1 \cdot x_2 = 6.\] Подбираем два числа с суммой 5 и произведением 6 — это 2 и 3.

2. Разложением на множители: \[x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0.\] Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой: \(x = 2\) или \(x = 3\).

3. Через дискриминант (универсальный способ, годится для любого уравнения \(ax^2+bx+c=0\)): \[D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4\cdot1\cdot6 = 25 - 24 = 1,\] \[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{2}.\] Отсюда \(x_1 = \frac{5-1}{2} = 2\), \(x_2 = \frac{5+1}{2} = 3\).

Проверка:

• \(2^2 - 5\cdot2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\) ✓
• \(3^2 - 5\cdot3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\) ✓

Принцип для похожих заданий: сначала проверь, стоит ли перед \(x^2\) единица — тогда Виет позволяет угадать корни за пару секунд (ищи два числа: сумма \(= -b\), произведение \(= c\)). Если не подбирается или \(a \neq 1\) — считай дискриминант: \(D > 0\) — два корня, \(D = 0\) — один, \(D < 0\) — корней нет.