124-ը լուծի բայց համ էլ բացատրի

Հասկանալի է։ 5-րդ քայլում Պյութագորասի թեորեմ էր օգտագործված, բայց դա սեղանի համար առանձին թեորեմ չէ․ պարզապես բարձրությունը տանելիս ստացվում է ուղղանկյուն եռանկյուն։ Բացատրեմ 4-րդը, հետո ցույց տամ նաև լուծում առանց Պյութագորասի։

4-րդ կետը

Նշանակենք՝
\[ a=x,\qquad b=9x \] որտեղ \(a\)-ն փոքր հիմքն է, \(b\)-ն՝ մեծը։

Հավասարասրուն սեղանում վերևի հիմքի ծայրերից իջեցրու ուղղահայացներ ներքևի հիմքին։ Այդ ժամանակ ներքևի հիմքը բաժանվում է երեք մասի՝

\[ \frac{b-a}{2},\quad a,\quad \frac{b-a}{2} \]

Սրունքի «հորիզոնական տեղաշարժը» հենց այդ ծայրի ավելորդ մասն է՝

\[ \frac{b-a}{2}=\frac{9x-x}{2}=4x \]

Այստեղ ոչ մի նոր թեորեմ չկա․ դա ստացվում է սեղանի համաչափությունից։

5-րդ կետը

Եթե բարձրությունը տանենք, ստացվում է ուղղանկյուն եռանկյուն։ Նրա՝

• մի էջը բարձրությունն է՝ \(24\),
• մյուս էջը՝ \(4x\),
• ներքնաձիգը՝ սրունքը՝ \(5x\)։

Պյութագորասի թեորեմով կլիներ՝

\[ (5x)^2=24^2+(4x)^2 \]

Այստեղից՝

\[ 25x^2=576+16x^2 \] \[ 9x^2=576 \] \[ x^2=64 \] \[ x=8 \]

Ուստի՝

\[ l=5x=5\cdot 8=40\text{ սմ} \]

Առանց Պյութագորասի

Թող շրջանագիծը սրունքին դիպչի \(C\) կետում, իսկ սրունքի վերևի և ներքևի ծայրերը լինեն \(P\)-ն և \(Q\)-ն։

Շոշափողների հատկությամբ՝ միևնույն կետից տարված շոշափող հատվածները հավասար են։ Ուստի՝

\[ PC=\frac{x}{2} \] \[ QC=\frac{9x}{2} \]

Երկու զուգահեռ շոշափողների և երրորդ շոշափողի համար գործում է՝

\[ PC\cdot QC=r^2 \]

որտեղ \(r=12\) է։ Ստանում ենք՝

\[ \frac{x}{2}\cdot \frac{9x}{2}=12^2 \]

\[ \frac{9x^2}{4}=144 \]

\[ 9x^2=576 \]

\[ x^2=64 \]

\[ x=8 \]

Այդ ժամանակ սրունքը՝

\[ l=PC+QC=\frac{x}{2}+\frac{9x}{2}=5x \]

\[ l=5\cdot 8=40\text{ սմ} \]

Պատասխան՝ \(40\) սմ։

Կարճ ասած՝ 4-րդ կետում գտել ենք սրունքի հորիզոնական տեղաշարժը՝ \(4x\), իսկ 5-րդում շրջանագծի շոշափողների հատկությամբ առանց Պյութագորասի ստացել ենք \(x=8\)։

Ուղարկի՛ր 125-րդ խնդրի պայմանը (տեքստը կամ լուսանկարը), որ լուծեմ ու բացատրեմ։

Պատասխան՝ սեղանի հիմքերն են \(2\) դմ և \(32\) դմ (փոքրը՝ \(2\), մեծը՝ \(32\))։

Լուծում և բացատրություն

Տրված է՝

• շրջանագծի տրամագիծը \(8\) դմ, ուրեմն ներգծված շրջանագծի բարձրությունը \(h=8\) դմ,
• սրունքը \(l=17\) դմ,
• սեղանը հավասարասրուն է ու արտագծված շրջանագծի։

1. Արտագծված (շոշափող) քառանկյան հատկությունը. Երբ քառանկյանը կարելի է շրջանագիծ ներգծել, հանդիպակաց կողմերի գումարները հավասար են՝ \[ a+b=2l \] որտեղ \(a\)-ն և \(b\)-ն հիմքերն են։ Քանի որ սրունքները հավասար են, ունենք՝ \[ a+b=2\cdot 17=34 \]

2. Բարձրությունը հավասար է տրամագծին. Շրջանագիծը շոշափում է երկու հիմքերին, այսինքն հիմքերը իրարից հեռու են տրամագծի չափով՝ \[ h=8 \text{ դմ} \]

3. Հավասարասրուն սեղանի եռանկյունը. Մեծ հիմքի ծայրից իջեցնենք բարձրությունը։ Ստացվում է ուղղանկյուն եռանկյուն, որի ներքնաձիգը սրունքն է, էջերից մեկը՝ \(h=8\), իսկ մյուսը՝ հիմքերի կիսատարբերությունը \(\dfrac{b-a}{2}\)։ Պյութագորասի թեորեմով՝ \[ l^2=h^2+\left(\frac{b-a}{2}\right)^2 \] \[ 17^2=8^2+\left(\frac{b-a}{2}\right)^2 \] \[ 289=64+\left(\frac{b-a}{2}\right)^2 \] \[ \left(\frac{b-a}{2}\right)^2=225 \] \[ \frac{b-a}{2}=15 \quad\Rightarrow\quad b-a=30 \]

4. Հավասարումների համակարգը. \[ \begin{cases} a+b=34\\ b-a=30 \end{cases} \] Գումարելով՝ \(2b=64\), ուստի \(b=32\); հանելով՝ \(a=2\)։

Ստուգում. \[ a+b=2+32=34=2\cdot 17 \;✓ \] \[ h=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{289-225}=\sqrt{64}=8 \;✓ \]

Օգտակար կարճ բանաձև հիշելու համար․ արտագծված \(h\) բարձրությամբ հավասարասրուն սեղանի համար ճիշտ է \(h^2=ab\)։ Այստեղ \(ab=64\) և \(a+b=34\), որտեղից ստացվում է նույն պատասխանը։