400?

Краткий ответ

\[ \begin{aligned} \text{а)}&\quad \sqrt{7+4\sqrt3}=2+\sqrt3,\\ \text{б)}&\quad \sqrt{6-2\sqrt5}=\sqrt5-1,\\ \text{в)}&\quad \sqrt{5+2\sqrt6}=\sqrt3+\sqrt2,\\ \text{г)}&\quad \sqrt{3-\sqrt8}=\sqrt2-1. \end{aligned} \]

Как это работает

Идея — «свернуть» подкоренное выражение в полный квадрат:

\[ (\sqrt m\pm \sqrt n)^2=m+n\pm 2\sqrt{mn}. \]

Поэтому ищем такие \(m\) и \(n\), чтобы:

\[ m+n=\text{число без корня},\qquad mn=\text{число под маленьким корнем}. \]

После этого используем \(\sqrt{x^2}=|x|\) — корень арифметический, поэтому ответ не должен быть отрицательным.

Разбор пунктов

а)
\[ 7+4\sqrt3=7+2\sqrt{12}. \] Нужны числа с суммой \(7\) и произведением \(12\): это \(3\) и \(4\). Значит, \[ 7+4\sqrt3=(\sqrt3+2)^2, \] поэтому \[ \sqrt{7+4\sqrt3}=2+\sqrt3. \]

б)
\[ 6-2\sqrt5=(\sqrt5-1)^2. \] Проверка: \(5-2\sqrt5+1=6-2\sqrt5\). Так как \(\sqrt5-1>0\), \[ \sqrt{6-2\sqrt5}=\sqrt5-1. \]

в)
\[ 5+2\sqrt6=(\sqrt3+\sqrt2)^2, \] поскольку \(3+2=5\), а \(2\sqrt{3\cdot2}=2\sqrt6\). Поэтому \[ \sqrt{5+2\sqrt6}=\sqrt3+\sqrt2. \]

г)
Сначала: \[ \sqrt8=2\sqrt2. \] Тогда \[ 3-\sqrt8=3-2\sqrt2=(\sqrt2-1)^2. \] Так как \(\sqrt2-1>0\), \[ \sqrt{3-\sqrt8}=\sqrt2-1. \]

Проверка: если возвести каждый полученный ответ в квадрат, получится исходное подкоренное выражение. Например, \[ (\sqrt5-1)^2=5-2\sqrt5+1=6-2\sqrt5. \]