Реши задание на изображении
Краткий ответ
- \(\det\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\5&-1&0\end{pmatrix}=0\), потому что вторая строка равна удвоенной первой.
- а) \(\det(AB)=-6\); б) \(\det(A^T)=3\); в) \(\det(2A)=24\).
- \(\det C=11\) и \(\det C^T=11\), значит, при транспонировании определитель не изменился.
Как это получается
1. Определитель равен нулю
Обозначим строки: \[ R_1=(1,2,3),\qquad R_2=(2,4,6). \] Видно, что \[ R_2=2R_1. \]
Используем свойства определителя:
- если к одной строке прибавить другую строку, умноженную на число, определитель не изменится;
- если в матрице есть нулевая строка, то её определитель равен нулю.
Вычтем из второй строки удвоенную первую: \[ R_2-2R_1=(2,4,6)-(2,4,6)=(0,0,0). \] Получилась матрица с нулевой строкой, значит, её определитель равен \(0\). Исходный определитель при таком преобразовании не изменился.
2. Свойства определителей
Дано: \[ \det A=3,\qquad \det B=-2. \]
а) Определитель произведения: \[ \det(AB)=\det A\cdot \det B=3\cdot(-2)=-6. \]
б) Определитель не меняется при транспонировании: \[ \det(A^T)=\det A=3. \]
в) При умножении матрицы \(3\times 3\) на число \(2\) каждая из трёх строк умножается на \(2\), поэтому: \[ \det(2A)=2^3\det A=8\cdot 3=24. \]
3. Транспонирование и определитель
Для матрицы \[ C=\begin{pmatrix}1&4\\-2&3\end{pmatrix} \] определитель: \[ \det C=1\cdot3-4\cdot(-2)=3+8=11. \]
Транспонированная матрица: \[ C^T=\begin{pmatrix}1&-2\\4&3\end{pmatrix}. \] Её определитель: \[ \det C^T=1\cdot3-(-2)\cdot4=3+8=11. \]
Получили: \[ \det C^T=\det C=11. \]
В общем виде для матрицы \(2\times2\): \[ \det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc, \] а после транспонирования: \[ \det\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}=ad-bc. \] Значение не меняется.
