Реши задание на изображении
Краткий ответ:
- \(\det A=6\);
- \(\det B=-32\).
1. Приведение к треугольному виду
Исходная матрица: \[ A=\begin{pmatrix} 1&-1&2&0\\ 0&2&1&4\\ 2&0&5&1\\ -1&3&0&2 \end{pmatrix} \]
Выполним преобразования строк. Прибавление к строке другой строки, умноженной на число, не меняет определитель.
\[ R_3\leftarrow R_3-2R_1,\qquad R_4\leftarrow R_4+R_1 \]
Получаем: \[ \begin{pmatrix} 1&-1&2&0\\ 0&2&1&4\\ 0&2&1&1\\ 0&2&2&2 \end{pmatrix} \]
Теперь: \[ R_3\leftarrow R_3-R_2,\qquad R_4\leftarrow R_4-R_2 \]
\[ \begin{pmatrix} 1&-1&2&0\\ 0&2&1&4\\ 0&0&0&-3\\ 0&0&1&-2 \end{pmatrix} \]
Чтобы получить треугольный вид, поменяем местами 3-ю и 4-ю строки. Перестановка строк меняет знак определителя: \[ \begin{pmatrix} 1&-1&2&0\\ 0&2&1&4\\ 0&0&1&-2\\ 0&0&0&-3 \end{pmatrix} \]
Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов: \[ 1\cdot 2\cdot 1\cdot(-3)=-6 \]
Но была одна перестановка строк, поэтому: \[ \det A=-(-6)=6 \]
Ответ: \(6\).
2. Получаем нули и раскладываем по столбцу
\[ B=\begin{pmatrix} 2&1&-1&3\\ 1&0&2&1\\ 3&1&1&0\\ 0&2&-2&1 \end{pmatrix} \]
Удобно взять второй столбец: там уже есть нуль. Сделаем нули и в 3-й, 4-й строках:
\[ R_3\leftarrow R_3-R_1,\qquad R_4\leftarrow R_4-2R_1 \]
\[ B\sim \begin{pmatrix} 2&1&-1&3\\ 1&0&2&1\\ 1&0&2&-3\\ -4&0&0&-5 \end{pmatrix} \]
Теперь во втором столбце только один ненулевой элемент — \(1\) в первой строке. Раскладываем определитель по второму столбцу. Знак элемента \((1,2)\): \[ (-1)^{1+2}=-1 \]
Поэтому: \[ \det B=-\, \begin{vmatrix} 1&2&1\\ 1&2&-3\\ -4&0&-5 \end{vmatrix} \]
Считаем определитель 3-го порядка: \[ \begin{vmatrix} 1&2&1\\ 1&2&-3\\ -4&0&-5 \end{vmatrix} = 1(2\cdot(-5)-0)-2(1\cdot(-5)-12)+1(0-2\cdot(-4)) \] \[ =-10+34+8=32 \]
Значит: \[ \det B=-32 \]
Ответ: \(-32\).
Что важно запомнить
- Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.
- Прибавление к строке другой строки не меняет определитель.
- Перестановка двух строк меняет знак определителя.
- При разложении по строке или столбцу не забывай множитель \((-1)^{i+j}\).
