Реши задание на изображении

Краткие ответы

1. Рациональные выражения

1. а) \(\dfrac{6m^2n}{9mn^3}=\dfrac{2m}{3n^2}\), \(m,n\ne0\);
   б) \(\dfrac{a^2-9}{a+3}=a-3\), \(a\ne-3\);
   в) \(\dfrac{x^2+5x}{x^2-25}=\dfrac{x}{x-5}\), \(x\ne\pm5\);
   г) \(\dfrac{4b-8}{b^2-4b+4}=\dfrac{4}{b-2}\), \(b\ne2\).

2. а) \(1\), \(a\ne b\);
   б) \(\dfrac{19}{6x}\), \(x\ne0\);
   в) \(\dfrac{4}{x^2-4}\), \(x\ne\pm2\);
   г) \(2x(x-2)\), \(x\ne0,-2\);
   д) \(a(a-1)\), \(a\ne0,-1\);
   е) \(1\), \(y\ne3\).

3. \[ \frac{x^2-4x+4}{x^2-4}=\frac{(x-2)^2}{(x-2)(x+2)}=\frac{x-2}{x+2}. \] При \(x=3\): \(\dfrac{3-2}{3+2}=\dfrac15\).

Ответ: \(\dfrac15\).

4. \[ \left(\frac1{x-1}-\frac1{x+1}\right)\cdot\frac{x^2-1}{2} = \frac{2}{x^2-1}\cdot\frac{x^2-1}{2}=1. \] Значение равно \(1\) при \(x\ne\pm1\), то есть от \(x\) не зависит.

2. Степени с одинаковым основанием

5. а) \(x^{12}\);
   б) \(y^6\);
   в) \(a^9\);
   г) \(b^{-2}=\dfrac1{b^2}\);
   д) \(c^4\);
   е) \(m^{\frac12-\frac13}=m^{\frac16}\), \(m>0\).

6. а) \(\dfrac{2^7\cdot2^3}{2^8}=2^2=4\);
   б) \(\dfrac{3^{10}}{3^4\cdot3^3}=3^3=27\);
   в) \(5^{-3}\cdot5^5=5^2=25\);
   г) \(10^{-4}\cdot10^6=10^2=100\);
   д) \((2^5\cdot2^{-2})\cdot2^3=2^{5-2+3}=2^6=64\);
   е) \(7^{12}:7^{10}=7^2=49\).

7. а) \(\dfrac{4^3\cdot2^5}{8^3}=\dfrac{(2^2)^3\cdot2^5}{(2^3)^3}=2^2=4\);
   б) \(9^4:27^2=(3^2)^4:(3^3)^2=3^2=9\);
   в) \(25^3\cdot5^{-4}=(5^2)^3\cdot5^{-4}=5^2=25\).

8. а) \(x^{2n}\cdot x^3:x^n=x^{2n+3-n}=x^{n+3}\);
   б) \(\dfrac{a^{n+2}\cdot a^{n-1}}{a^{2n}}=a^{(n+2)+(n-1)-2n}=a\).

9. а) \(2^x\cdot2^4=2^{10}\Rightarrow x+4=10\Rightarrow x=6\);
   б) \(3^x\cdot3^2=81=3^4\Rightarrow x+2=4\Rightarrow x=2\).

3. Иррациональные уравнения

10. а) \(\sqrt{x}=6\Rightarrow x=36\);
    б) \(\sqrt{x-3}=4\Rightarrow x-3=16\Rightarrow x=19\);
    в) \(\sqrt{2x+1}=5\Rightarrow 2x+1=25\Rightarrow x=12\);
    г) \(\sqrt{x+4}=-2\) — нет решений, так как корень не может быть отрицательным;
    д) \(\sqrt{x^2-5}=2\Rightarrow x^2-5=4\Rightarrow x^2=9\Rightarrow x=\pm3\);
    е) \(\sqrt[3]{x-1}=2\Rightarrow x-1=8\Rightarrow x=9\).

11. а) \(\sqrt{3x-2}=\sqrt{x+6}\Rightarrow 3x-2=x+6\Rightarrow x=4\);
    б) \(\sqrt{x+2}=x\Rightarrow x+2=x^2\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow x=2\) или \(x=-1\).
    Проверка: \(x=-1\) не подходит, потому что \(\sqrt{1}=1\), а справа \(-1\).
    Ответ: \(x=2\).

12. а) \(\sqrt{5-x}=x+1\). После возведения в квадрат: \[ 5-x=x^2+2x+1\Rightarrow x^2+3x-4=0\Rightarrow x=1\text{ или }x=-4. \] Проверка: \(x=-4\) не подходит: \(\sqrt9=3\), а \(x+1=-3\).
    Ответ: \(x=1\).

б) \(\sqrt{x+5}+1=x\Rightarrow \sqrt{x+5}=x-1\).
Возводим в квадрат: \[ x+5=x^2-2x+1\Rightarrow x^2-3x-4=0\Rightarrow x=4\text{ или }x=-1. \] Проверка: \(x=-1\) не подходит.
Ответ: \(x=4\).

13. Проверка нужна потому, что при возведении в квадрат могут появиться посторонние корни. Например, в уравнении \(\sqrt{5-x}=x+1\) после возведения в квадрат получаются \(x=1\) и \(x=-4\), но при \(x=-4\): \[ \sqrt{9}=3,\qquad x+1=-3, \] то есть \(3\ne-3\). Значит, \(x=-4\) — посторонний корень, его нужно отбросить.

Ключевые правила

• При сокращении дробей раскладываем числитель и знаменатель на множители и сокращаем одинаковые множители. Не забываем про допустимые значения \(x\).
• Для степеней: \[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad a^m:a^n=a^{m-n},\qquad a^{-n}=\frac1{a^n}. \]
• Для иррациональных уравнений: \[ \sqrt{f}=g\Rightarrow f=g^2, \] но обязательно нужно проверять корни или учитывать условие \(g\ge0\). Для кубического корня: \[ \sqrt[3]{f}=g\Rightarrow f=g^3. \]