Только первое задание а,б,в

Краткий ответ

а) $\dfrac{6m^2n}{9mn^3}=\dfrac{2m}{3n^2}$ (при $m\neq0,\ n\neq0$)

б) $\dfrac{a^2-9}{a+3}=a-3$ (при $a\neq-3$)

в) $\dfrac{x^2+5x}{x^2-25}=\dfrac{x}{x-5}$ (при $x\neq\pm5$)

Как это работает

Главный принцип сокращения дроби: числитель и знаменатель нужно разложить на множители, а потом убрать одинаковые. Сокращать можно только множители (то, что умножается), но не слагаемые!

а) $\dfrac{6m^2n}{9mn^3}$ Здесь всё уже произведение, поэтому сокращаем по частям:

• числа: $\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$;
• $m$: $\dfrac{m^2}{m}=m$;
• $n$: $\dfrac{n}{n^3}=\dfrac{1}{n^2}$.

Собираем: $\dfrac{2m}{3n^2}$. Дополнительно: $m\neq0$, $n\neq0$ — иначе дробь не имеет смысла.

б) $\dfrac{a^2-9}{a+3}$ В числителе — разность квадратов: $a^2-9=(a-3)(a+3)$. $$\frac{(a-3)(a+3)}{a+3}=a-3$$ Важно: $a\neq-3$, ведь при $a=-3$ знаменатель исходной дроби обращается в ноль.

в) $\dfrac{x^2+5x}{x^2-25}$

• Числитель: выносим общий множитель $x$: $x^2+5x=x(x+5)$.
• Знаменатель: снова разность квадратов: $x^2-25=(x-5)(x+5)$.

$$\frac{x(x+5)}{(x-5)(x+5)}=\frac{x}{x-5}$$ Ограничения: $x\neq5$ и $x\neq-5$. Множитель $(x+5)$ сократился, но «запрет» на $x=-5$ остаётся — это называют ОДЗ.

Проверка

Подставим удобные числа в исходное выражение и в ответ — результаты должны совпасть.

• а) $m=2,\ n=3$: исходно $\dfrac{6\cdot4\cdot3}{9\cdot2\cdot27}=\dfrac{72}{486}=\dfrac{4}{27}$; по ответу $\dfrac{2\cdot2}{3\cdot9}=\dfrac{4}{27}$. ✔
• б) $a=5$: исходно $\dfrac{25-9}{8}=2$; по ответу $5-3=2$. ✔
• в) $x=2$: исходно $\dfrac{4+10}{4-25}=\dfrac{14}{-21}=-\dfrac{2}{3}$; по ответу $\dfrac{2}{2-5}=-\dfrac{2}{3}$. ✔

Алгоритм для похожих заданий: 1) разложи числитель и знаменатель на множители (общий множитель, формулы сокращённого умножения); 2) вычеркни одинаковые множители; 3) запиши ограничения на переменные.