Кратко: «безалаберный» (правильно писать через а: безалаберный) — неорганизованный, неаккуратный, беспорядочный, легкомысленный. Так говорят о человеке, который всё делает как попало, без порядка и ответственности, или о самом таком поведении: безалаберный ученик, безалаберное отношение к делу.
Как это понять и проверить себя
Разбери слово по составу: без- + -алабер- + -н- + -ый. Корень -алабер- восходит к старинному слову со значением «порядок, устройство». Отсюда и смысл: «без порядка». Поэтому после приставки пишется а, а не «о»: приставки «безо-» здесь нет (она бывает лишь в отдельных сочетаниях: безо всего, безо всякого).
Подставь синонимы: неорганизованный, рассеянный, небрежный, беспорядочный, легкомысленный. Если они подходят по смыслу — слово употреблено верно.
Сравни с антонимами: собранный, аккуратный, организованный, ответственный. Это помогает не спутать «безалаберный» с «безобидный» или «безответственный» — они разные по значению.
Проверь в предложении: «Из-за безалаберного отношения к расписанию он постоянно опаздывал». Смысл сохраняется — значит, всё правильно.
Принцип для похожих заданий: сначала определи морфемы и вспомни, от какого слова образовано слово; если корень неясен — смотри словарь, а не подбирай гласную на слух. Безударную гласную в таких «тёмных» корнях проверяют по словарю, а не ударением.