2 мисал чыгарып берчи
Кыскача жооп: \[ x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad y=\frac{\pi}{6}+\pi k,\qquad n,k\in\mathbb Z \] (китепте көбүнчө экөө үчүн тең \(n\) деп жазышат).
Берилген система: \[ \begin{cases} \operatorname{tg}x+\operatorname{tg}y=\dfrac{2\sqrt3}{3},\\[6pt] \operatorname{tg}x\cdot\operatorname{tg}y=\dfrac13. \end{cases} $$ **Чыгаруу, кадам менен:** 1. **Алмаштыруу киргизебиз.** \(a=\operatorname{tg}x\), \(b=\operatorname{tg}y\) десек, система жөнөкөй түргө келет: \[ a+b=\frac{2\sqrt3}{3},\qquad ab=\frac13. \]
Виеттин теоремасы боюнча мындай эки сан \(t^2-\dfrac{2\sqrt3}{3}\,t+\dfrac13=0\) тендемесинин тамырлары болот: \[ D=\left(\frac{2\sqrt3}{3}\right)^2-4\cdot\frac13=\frac{4}{3}-\frac{4}{3}=0. \] Дискриминант нөл болгондуктан тамыр бир: \(t=\dfrac{2\sqrt3}{3}:2=\dfrac{\sqrt3}{3}\). Демек \(a=b=\dfrac{\sqrt3}{3}\).
Белгисиздерге кайтабыз. \(\operatorname{tg}x=\dfrac{\sqrt3}{3}\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+\pi n\) (тангенстин периоду \(\pi\), себеби \(\operatorname{tg}\left(\dfrac{\pi}{6}+\pi\right)=\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{6}\)). Ошондой эле \(y=\dfrac{\pi}{6}+\pi k\).
Текшерүү: \(\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{3}\), анда \[ \frac{\sqrt3}{3}+\frac{\sqrt3}{3}=\frac{2\sqrt3}{3}\ \checkmark,\qquad \frac{\sqrt3}{3}\cdot\frac{\sqrt3}{3}=\frac{3}{9}=\frac13\ \checkmark \]
Пайдалуу ыкма: экинчи жол менен да чыгат: \[ (a-b)^2=(a+b)^2-4ab=\frac43-\frac43=0\Rightarrow a=b. \] «Сумма + көбөйтүндү» берилген системаларда ушул ыкма дээрлик ар дайым иштейт; андан кийин гана жөнөкөй тригонометриялык тендеме чыгарылат.
