Найти неопределенный интеграл

По образцу — полное исследование функции:

\[ y=\frac{2x^2+4}{4-x} \]

1) Область определения (ОДЗ)

\[ 4-x\ne0 \quad\Rightarrow\quad x\ne4 \]

\[ D(y)=(-\infty;4)\cup(4;+\infty) \]

2) Чётность

\[ y(-2)=\frac{2\cdot(-2)^2+4}{4-(-2)}=\frac{12}{6}=2 \]

\[ y(2)=\frac{2\cdot2^2+4}{4-2}=\frac{12}{2}=6 \]

Так как \(y(-2)\ne y(2)\) и \(y(-2)\ne -y(2)\), функция ни чётная, ни нечётная. Симметрии нет.

3) Точки пересечения с осями координат

С осью \(Oy\), то есть при \(x=0\):

\[ y=\frac{4}{4}=1 \]

Точка: \((0;1)\).

С осью \(Ox\), то есть при \(y=0\):

\[ \frac{2x^2+4}{4-x}=0 \]

\[ 2x^2+4=0 \]

\[ x^2=-2 \]

Действительных корней нет, значит, с осью \(Ox\) точек пересечения нет.

4) Асимптоты

Вертикальная асимптота:

\[ x=4 \]

так как при \(x\to4\) знаменатель стремится к нулю, а числитель не равен нулю.

Наклонная асимптота \(y=kx+b\):

\[ k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x} =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x^2+4}{x(4-x)} =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x^2+4}{4x-x^2} =-2 \]

\[ b=\lim_{x\to\pm\infty}\bigl(f(x)-kx\bigr) =\lim_{x\to\pm\infty}\left(\frac{2x^2+4}{4-x}+2x\right) =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{8x+4}{4-x} =-8 \]

Значит,

\[ \boxed{y=-2x-8} \]

— наклонная асимптота.

5) Монотонность и экстремумы

\[ y'=\left(\frac{2x^2+4}{4-x}\right)' =\frac{4x(4-x)-(2x^2+4)\cdot(-1)}{(4-x)^2} \]

\[ y'=\frac{-2x^2+16x+4}{(4-x)^2} \]

Приравняем производную к нулю:

\[ -2x^2+16x+4=0 \]

\[ x^2-8x-2=0 \]

\[ x_{1,2}=4\pm3\sqrt2 \]

То есть

\[ x_1=4-3\sqrt2,\qquad x_2=4+3\sqrt2 \]

Знаки производной:

• на \((-\infty;4-3\sqrt2)\) функция убывает;
• на \((4-3\sqrt2;4)\) возрастает;
• на \((4;4+3\sqrt2)\) возрастает;
• на \((4+3\sqrt2;+\infty)\) убывает.

Экстремумы:

\[ x_{\min}=4-3\sqrt2 \]

\[ y_{\min}=y(4-3\sqrt2)=12\sqrt2-16\approx0{,}97 \]

\[ x_{\max}=4+3\sqrt2 \]

\[ y_{\max}=y(4+3\sqrt2)=-16-12\sqrt2\approx-32{,}97 \]

6) Выпуклость и вогнутость

Удобно записать производную в виде:

\[ y'=-2+\frac{36}{(4-x)^2} \]

Тогда

\[ y''=\left(-2+\frac{36}{(4-x)^2}\right)' =\frac{72}{(4-x)^3} \]

\[ y''=0 \]

решений нет, так как числитель \(72\ne0\).

Знаки второй производной:

• при \(x<4\): \(y''>0\) — график выпуклый вниз, «чаша \(\cup\)»;
• при \(x>4\): \(y''<0\) — график выпуклый вверх, «\(\cap\)».

Точек перегиба нет.

Для построения графика

• вертикальная асимптота: \(x=4\);
• наклонная асимптота: \(y=-2x-8\);
• точка пересечения с осью \(Oy\): \((0;1)\);
• локальный минимум:
  \[ (4-3\sqrt2;\;12\sqrt2-16)\approx(-0{,}24;\;0{,}97) \]
• локальный максимум:
  \[ (4+3\sqrt2;\;-16-12\sqrt2)\approx(8{,}24;\;-32{,}97) \]

При \(x<4\) график расположен выше оси \(Ox\), при \(x>4\) — ниже оси \(Ox\).

Для функции
\[ y=\frac{2x^2+4}{4-x} \] полное исследование по образцу:

1) Область определения

\[ 4-x\ne 0 \quad\Rightarrow\quad x\ne 4 \]

\[ \boxed{D(y)=(-\infty;4)\cup(4;+\infty)} \]

---

2) Чётность и нечётность

\[ y(-x)=\frac{2(-x)^2+4}{4-(-x)}=\frac{2x^2+4}{4+x} \]

Это выражение не равно ни \(y(x)\), ни \(-y(x)\).
Значит, функция общего вида, то есть ни чётная, ни нечётная.

---

3) Точки пересечения с осями координат

С осью \(Oy\) при \(x=0\):

\[ y(0)=\frac{2\cdot0^2+4}{4-0}=\frac44=1 \]

Точка: \(\boxed{(0;1)}\).

С осью \(Ox\) при \(y=0\):

\[ \frac{2x^2+4}{4-x}=0 \]

\[ 2x^2+4=0 \]

\[ x^2=-2 \]

Действительных корней нет, поэтому с осью \(Ox\) точек пересечения нет.

---

4) Асимптоты графика

Вертикальная асимптота:

При \(x\to4\) знаменатель стремится к нулю, а числитель равен \(36\ne0\).

\[ \lim_{x\to4-0}\frac{2x^2+4}{4-x}=+\infty \]

\[ \lim_{x\to4+0}\frac{2x^2+4}{4-x}=-\infty \]

Значит,

\[ \boxed{x=4} \]

— вертикальная асимптота.

Наклонная асимптота \(y=kx+b\):

\[ k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x} =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x^2+4}{x(4-x)} =-2 \]

\[ b=\lim_{x\to\pm\infty}\bigl(f(x)-kx\bigr) =\lim_{x\to\pm\infty}\left(\frac{2x^2+4}{4-x}+2x\right) =-8 \]

Значит,

\[ \boxed{y=-2x-8} \]

— наклонная асимптота.

---

5) Интервалы монотонности и точки экстремума

\[ y'=\left(\frac{2x^2+4}{4-x}\right)' =\frac{-2x^2+16x+4}{(4-x)^2} \]

Приравняем производную к нулю:

\[ -2x^2+16x+4=0 \]

\[ x^2-8x-2=0 \]

\[ x_{1,2}=4\pm3\sqrt2 \]

То есть:

\[ x_1=4-3\sqrt2,\qquad x_2=4+3\sqrt2 \]

Знаки производной:

\[ \begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty;4-3\sqrt2) & 4-3\sqrt2 & (4-3\sqrt2;4) & 4 & (4;4+3\sqrt2) & 4+3\sqrt2 & (4+3\sqrt2;+\infty)\\ \hline y' & - & 0 & + & \text{не сущ.} & + & 0 & -\\ y & \downarrow & \min & \uparrow & & \uparrow & \max & \downarrow \end{array} \]

Точка минимума:

\[ x_{\min}=4-3\sqrt2 \]

\[ y_{\min}=y(4-3\sqrt2)=12\sqrt2-16\approx0{,}97 \]

Точка максимума:

\[ x_{\max}=4+3\sqrt2 \]

\[ y_{\max}=y(4+3\sqrt2)=-16-12\sqrt2\approx-32{,}97 \]

---

6) Выпуклость, вогнутость и точки перегиба

Удобно записать:

\[ y=-2x-8+\frac{36}{4-x} \]

Тогда

\[ y'=-2+\frac{36}{(4-x)^2} \]

\[ y''=\frac{72}{(4-x)^3} \]

Нулей у второй производной нет, так как \(72\ne0\).

Знаки \(y''\):

• при \(x<4\): \(y''>0\), график выпуклый вниз, форма \(\cup\);
• при \(x>4\): \(y''<0\), график выпуклый вверх, форма \(\cap\).

В точке \(x=4\) функция не определена, поэтому точек перегиба нет.

---

7) Построение графика

Для построения графика используем:

• вертикальная асимптота:
  \[ \boxed{x=4} \]
• наклонная асимптота:
  \[ \boxed{y=-2x-8} \]
• точка пересечения с осью \(Oy\):
  \[ \boxed{(0;1)} \]
• точка минимума:
  \[ \boxed{(4-3\sqrt2;\;12\sqrt2-16)\approx(-0{,}24;\;0{,}97)} \]
• точка максимума:
  \[ \boxed{(4+3\sqrt2;\;-16-12\sqrt2)\approx(8{,}24;\;-32{,}97)} \]

При \(x<4\) график расположен выше оси \(Ox\), при \(x>4\) — ниже оси \(Ox\).
Левая ветвь уходит вверх к асимптоте \(x=4\), правая — вниз.

Вот схематический график
\[ y=\frac{2x^2+4}{4-x}. \] Масштаб по \(y\) сильно сжат, потому что около \(x=4\) функция уходит в \(\pm\infty\).

              y
              ↑
        ╲     │            ┊
         ╲    │            ┊
          ╲   │            ┊
           ●  │            ┊
          ╱   │            ┊
         ╱    │            ┊
        ╱     │            ┊
───────╱──────┼────────────┊────────→ x
              │          x=4
              │            ┊
              │            └──╮
              │               ╰──╮
              │                  ●  лок. max ≈ (8,24; −32,97)
              │                   ╰──╮
              │                      ╰────

Ключевые элементы графика:

• вертикальная асимптота:
  \[ \boxed{x=4} \]
• наклонная асимптота:
  \[ \boxed{y=-2x-8} \]
• точка пересечения с осью \(Oy\):
  \[ \boxed{(0;1)} \]
• локальный минимум:
  \[ \left(4-3\sqrt2;\;12\sqrt2-16\right)\approx(-0{,}24;\;0{,}97) \]
• локальный максимум:
  \[ \left(4+3\sqrt2;\;-16-12\sqrt2\right)\approx(8{,}24;\;-32{,}97) \]

Левая ветвь расположена выше оси \(Ox\) и уходит вверх к асимптоте \(x=4\).
Правая ветвь расположена ниже оси \(Ox\), уходит вниз около \(x=4\), имеет локальный максимум при \(x\approx8{,}24\), затем снова уходит вниз, приближаясь к прямой \(y=-2x-8\).

Готово — ниже готовый SVG-график. Если он не отображается как картинка, сохраните код в файл graph.svg и откройте в браузере.

<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="900" height="700" viewBox="0 0 900 700">
  <rect width="900" height="700" fill="#ffffff"/>
  <defs>
    <clipPath id="plotClip">
      <rect x="70" y="50" width="760" height="600"/>
    </clipPath>
  </defs>

  <!-- Сетка -->
  <g stroke="#e5e7eb" stroke-width="1">
    <line x1="70" y1="92.86" x2="830" y2="92.86"/>
    <line x1="70" y1="178.57" x2="830" y2="178.57"/>
    <line x1="70" y1="264.29" x2="830" y2="264.29"/>
    <line x1="70" y1="350.00" x2="830" y2="350.00"/>
    <line x1="70" y1="435.71" x2="830" y2="435.71"/>
    <line x1="70" y1="521.43" x2="830" y2="521.43"/>
    <line x1="70" y1="607.14" x2="830" y2="607.14"/>

    <line x1="101.67" y1="50" x2="101.67" y2="650"/>
    <line x1="165.00" y1="50" x2="165.00" y2="650"/>
    <line x1="228.33" y1="50" x2="228.33" y2="650"/>
    <line x1="291.67" y1="50" x2="291.67" y2="650"/>
    <line x1="355.00" y1="50" x2="355.00" y2="650"/>
    <line x1="418.33" y1="50" x2="418.33" y2="650"/>
    <line x1="481.67" y1="50" x2="481.67" y2="650"/>
    <line x1="545.00" y1="50" x2="545.00" y2="650"/>
    <line x1="608.33" y1="50" x2="608.33" y2="650"/>
    <line x1="671.67" y1="50" x2="671.67" y2="650"/>
    <line x1="735.00" y1="50" x2="735.00" y2="650"/>
    <line x1="798.33" y1="50" x2="798.33" y2="650"/>
  </g>

  <rect x="70" y="50" width="760" height="600" fill="none" stroke="#d1d5db"/>

  <!-- Оси -->
  <line x1="70" y1="264.29" x2="830" y2="264.29" stroke="#111827" stroke-width="1.8"/>
  <line x1="355" y1="650" x2="355" y2="50" stroke="#111827" stroke-width="1.8"/>
  <polygon points="830,264.29 820,259.29 820,269.29" fill="#111827"/>
  <polygon points="355,50 350,60 360,60" fill="#111827"/>

  <!-- Подписи осей и делений -->
  <g font-family="Arial, sans-serif" font-size="13" fill="#111827">
    <text x="101.67" y="282" text-anchor="middle">-8</text>
    <text x="165.00" y="282" text-anchor="middle">-6</text>
    <text x="228.33" y="282" text-anchor="middle">-4</text>
    <text x="291.67" y="282" text-anchor="middle">-2</text>
    <text x="355.00" y="282" text-anchor="middle">0</text>
    <text x="418.33" y="282" text-anchor="middle">2</text>
    <text x="481.67" y="282" text-anchor="middle">4</text>
    <text x="545.00" y="282" text-anchor="middle">6</text>
    <text x="608.33" y="282" text-anchor="middle">8</text>
    <text x="671.67" y="282" text-anchor="middle">10</text>
    <text x="735.00" y="282" text-anchor="middle">12</text>
    <text x="798.33" y="282" text-anchor="middle">14</text>

    <text x="345" y="97" text-anchor="end">20</text>
    <text x="345" y="183" text-anchor="end">10</text>
    <text x="345" y="355" text-anchor="end">-10</text>
    <text x="345" y="441" text-anchor="end">-20</text>
    <text x="345" y="527" text-anchor="end">-30</text>
    <text x="345" y="612" text-anchor="end">-40</text>

    <text x="842" y="269">x</text>
    <text x="355" y="42" text-anchor="middle">y</text>
  </g>

  <!-- Асимптоты -->
  <line x1="481.67" y1="50" x2="481.67" y2="650"
        stroke="#dc2626" stroke-width="2" stroke-dasharray="8 6"/>
  <line x1="70" y1="178.57" x2="830" y2="590.00"
        stroke="#f59e0b" stroke-width="2" stroke-dasharray="8 6"/>

  <!-- График функции -->
  <g clip-path="url(#plotClip)">
    <!-- Левая ветвь -->
    <path d="M 70 154.84
             L 101.67 170.00
             L 165.00 199.14
             L 228.33 225.71
             L 291.67 247.14
             L 323.33 254.00
             L 347.32 255.97
             L 355.00 255.71
             L 386.67 247.14
             L 418.33 212.86
             L 434.17 170.00
             L 443.67 123.71
             L 450.00 75.71
             L 451.58 60.33
             L 452.53 50.25
             L 453.17 43.14"
          fill="none" stroke="#1d4ed8" stroke-width="2.7"
          stroke-linejoin="round" stroke-linecap="round"/>

    <!-- Правая ветвь -->
    <path d="M 525.08 650.00
             L 526.00 645.83
             L 529.17 632.86
             L 545.00 590.00
             L 560.83 567.71
             L 576.67 555.71
             L 592.50 549.59
             L 608.33 547.14
             L 616.02 546.89
             L 624.17 547.14
             L 640.00 548.86
             L 671.67 555.71
             L 703.33 565.51
             L 735.00 577.14
             L 766.67 590.00
             L 798.33 603.71
             L 830.00 618.05"
          fill="none" stroke="#1d4ed8" stroke-width="2.7"
          stroke-linejoin="round" stroke-linecap="round"/>
  </g>

  <!-- Отмеченные точки -->
  <circle cx="355.00" cy="255.71" r="4.5" fill="#1d4ed8"/>
  <text x="365" y="251" font-family="Arial, sans-serif" font-size="13" fill="#111827">(0; 1)</text>

  <circle cx="616.02" cy="546.89" r="4.5" fill="#111827"/>
  <text x="625" y="541" font-family="Arial, sans-serif" font-size="13" fill="#111827">max</text>

  <!-- Легенда -->
  <g font-family="Arial, sans-serif" font-size="14" fill="#111827">
    <rect x="86" y="60" width="250" height="84" rx="6"
          fill="#ffffff" opacity="0.92" stroke="#e5e7eb"/>

    <line x1="96" y1="80" x2="126" y2="80"
          stroke="#1d4ed8" stroke-width="3"/>
    <text x="134" y="85">y=(2x^2+4)/(4-x)</text>

    <line x1="96" y1="103" x2="126" y2="103"
          stroke="#dc2626" stroke-width="2" stroke-dasharray="6 4"/>
    <text x="134" y="108">x=4</text>

    <line x1="96" y1="126" x2="126" y2="126"
          stroke="#f59e0b" stroke-width="2" stroke-dasharray="6 4"/>
    <text x="134" y="131">y=-2x-8</text>
  </g>
</svg>

Ключевые элементы графика:

\[ y=\frac{2x^2+4}{4-x},\qquad x\ne 4 \]

• вертикальная асимптота: \(\boxed{x=4}\);
• наклонная асимптота: \(\boxed{y=-2x-8}\);
• точка пересечения с осью \(Oy\): \(\boxed{(0;1)}\);
• локальный минимум:
  \[ \left(4-3\sqrt2;\;12\sqrt2-16\right)\approx(-0{,}24;\;0{,}97); \]
• локальный максимум:
  \[ \left(4+3\sqrt2;\;-16-12\sqrt2\right)\approx(8{,}24;\;-32{,}97). \]

Вот схема графика
\[ y=\frac{2x^2+4}{4-x} \] Масштаб по \(y\) на схеме сжат, но форма и ключевые точки показаны верно:

                      y
                      ↑
20 ───────────────────┼──────╱┊
                      │    ╱  ┊
10 ─────╲─────────────┼───╱   ┊
         ╲             │  ╱    ┊
 5 ───────╲───────────┼─╱     ┊
           ╲           │       ┊
 1 ─────────╲─────────●        ┊
             ╲   min≈0,97      ┊
 0 ───────────┼───────────────┊───────────────→ x
               0             4 ┊
-10 ───────────┼───────────────┊
                │               ┊
-20 ───────────┼───────────────┊
                │               ┊
-30 ───────────┼───────────────┊
                │               ┊            ● (8,24; −33)
-35 ───────────┼───────────────┊        ╱    ╲
                │               ┊      ╱       ╲
-40 ───────────┼───────────────┊    ╱           ╲
                                x = 4

Основные элементы:

• вертикальная асимптота:
  \[ x=4; \]
• наклонная асимптота:
  \[ y=-2x-8; \]
• точка пересечения с осью \(Oy\):
  \[ (0;1); \]
• локальный минимум:
  \[ \left(4-3\sqrt2;\;12\sqrt2-16\right)\approx(-0{,}24;\,0{,}97); \]
• локальный максимум:
  \[ \left(4+3\sqrt2;\;-16-12\sqrt2\right)\approx(8{,}24;\,-32{,}97). \]

При \(x<4\) график лежит выше оси \(Ox\), при \(x>4\) — ниже. Точек пересечения с осью \(Ox\) нет.

Ниже — полностью исправленный вариант.
Главная ошибка на фото: при \(x=-2\) точка отмечена неверно. Правильно: \[ y(-2)=\frac{2\cdot(-2)^2+4}{4-(-2)}=\frac{12}{6}=2, \] то есть на графике должна быть точка \((-2;\,2)\), а не \(\left(-2;\,\frac13\right)\).

---

Исследование функции

\[ y=\frac{2x^2+4}{4-x} \]

1. Область определения

\[ 4-x\ne0 \quad\Rightarrow\quad x\ne4 \]

\[ \boxed{D(y)=(-\infty;4)\cup(4;+\infty)} \]

---

2. Чётность

\[ y(-x)=\frac{2(-x)^2+4}{4-(-x)}=\frac{2x^2+4}{4+x} \]

Например, при \(x=2\):

\[ y(-2)=2,\qquad y(2)=6 \]

При этом

\[ y(-2)\ne y(2),\qquad y(-2)\ne -y(2) \]

Значит, функция ни чётная, ни нечётная — функция общего вида.

---

3. Пересечение с осями координат

С осью \(Oy\), то есть при \(x=0\):

\[ y(0)=\frac{4}{4}=1 \]

Точка:

\[ \boxed{(0;1)} \]

С осью \(Ox\), то есть при \(y=0\):

\[ \frac{2x^2+4}{4-x}=0 \]

\[ 2x^2+4=0 \]

\[ x^2=-2 \]

Действительных корней нет, значит, с осью \(Ox\) график не пересекается.

Так как \(2x^2+4>0\) при любом \(x\), знак \(y\) совпадает со знаком знаменателя \(4-x\). Поэтому:

\[ y>0 \text{ при } x<4,\qquad y<0 \text{ при } x>4. \]

---

4. Асимптоты

Вертикальная асимптота:

\[ \lim_{x\to4-0}\frac{2x^2+4}{4-x}=+\infty \]

\[ \lim_{x\to4+0}\frac{2x^2+4}{4-x}=-\infty \]

Значит,

\[ \boxed{x=4} \]

— вертикальная асимптота.

Наклонная асимптота \(y=kx+b\):

\[ k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x} =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x^2+4}{x(4-x)} =-2 \]

\[ b=\lim_{x\to\pm\infty}\bigl(f(x)-kx\bigr) =\lim_{x\to\pm\infty}\left(\frac{2x^2+4}{4-x}+2x\right) =-8 \]

Значит,

\[ \boxed{y=-2x-8} \]

— наклонная асимптота.

Можно записать:

\[ \frac{2x^2+4}{4-x}=-2x-8+\frac{36}{4-x} \]

При \(x<4\) график лежит выше асимптоты, при \(x>4\) — ниже неё.

---

5. Производная, монотонность и экстремумы

\[ y'=\left(\frac{2x^2+4}{4-x}\right)' =\frac{-2x^2+16x+4}{(4-x)^2} \]

Приравняем производную к нулю:

\[ -2x^2+16x+4=0 \]

\[ x^2-8x-2=0 \]

\[ x_{1,2}=4\pm3\sqrt2 \]

То есть

\[ x_1=4-3\sqrt2\approx-0{,}24 \]

\[ x_2=4+3\sqrt2\approx8{,}24 \]

Знаки производной:

Промежуток	Знак \(y'\)	Поведение функции
\((-\infty;4-3\sqrt2)\)	\(-\)	убывает
\((4-3\sqrt2;4)\)	\(+\)	возрастает
\((4;4+3\sqrt2)\)	\(+\)	возрастает
\((4+3\sqrt2;+\infty)\)	\(-\)	убывает

Значит, при

\[ x_{\min}=4-3\sqrt2 \]

— локальный минимум:

\[ y_{\min}=y(4-3\sqrt2)=12\sqrt2-16\approx0{,}97 \]

При

\[ x_{\max}=4+3\sqrt2 \]

— локальный максимум:

\[ y_{\max}=y(4+3\sqrt2)=-16-12\sqrt2\approx-32{,}97 \]

То есть:

\[ \boxed{\min:\ \left(4-3\sqrt2;\ 12\sqrt2-16\right)\approx(-0{,}24;\ 0{,}97)} \]

\[ \boxed{\max:\ \left(4+3\sqrt2;\ -16-12\sqrt2\right)\approx(8{,}24;\ -32{,}97)} \]

---

6. Выпуклость и точки перегиба

Удобно использовать запись:

\[ y=-2x-8+\frac{36}{4-x} \]

Тогда

\[ y'=-2+\frac{36}{(4-x)^2} \]

\[ y''=\frac{72}{(4-x)^3} \]

\[ y''=0 \]

не имеет решений, так как числитель \(72\ne0\).

Знаки второй производной:

• при \(x<4\): \(y''>0\), график выпуклый вниз, имеет форму \(\cup\);
• при \(x>4\): \(y''<0\), график выпуклый вверх, имеет форму \(\cap\).

Точек перегиба нет, так как \(x=4\) не входит в область определения.

---

7. Данные для построения графика

\[ \boxed{x=4} \]

— вертикальная асимптота.

\[ \boxed{y=-2x-8} \]

— наклонная асимптота.

Точки:

\[ (0;1),\qquad (-2;2),\qquad (2;6),\qquad (3;22),\qquad (5;-54) \]

Локальный минимум:

\[ (4-3\sqrt2;\ 12\sqrt2-16)\approx(-0{,}24;\ 0{,}97) \]

Локальный максимум:

\[ (4+3\sqrt2;\ -16-12\sqrt2)\approx(8{,}24;\ -32{,}97) \]

---

Как выглядит график

Левая ветвь, при \(x<4\):

• при \(x\to-\infty\) график уходит в \(+\infty\);
• убывает до локального минимума около \((-0{,}24;\ 0{,}97)\);
• затем возрастает и при \(x\to4-0\) уходит в \(+\infty\).

Правая ветвь, при \(x>4\):

• при \(x\to4+0\) уходит в \(-\infty\);
• возрастает до локального максимума около \((8{,}24;\ -32{,}97)\);
• затем убывает, приближаясь к прямой \(y=-2x-8\) снизу.

Чтобы на графике был виден локальный максимум, правую часть нужно строить не до \(x=6\), а хотя бы до \(x\approx10\)–\(12\).

\[ y=\frac{2x^2+4}{4-x} \]

\[ D(y)=(-\infty;4)\cup(4;+\infty) \]

\[ y(0)=1;\qquad (0;1) \]

\[ y=0\iff 2x^2+4=0\iff x^2=-2\Rightarrow \varnothing \]

\[ y(-x)=\frac{2x^2+4}{4+x}\ne \pm y(x)\Rightarrow \text{функция общего вида} \]

\[ 2x^2+4>0\Rightarrow y>0\ (x<4),\qquad y<0\ (x>4) \]

\[ \lim_{x\to4-}y=+\infty,\qquad \lim_{x\to4+}y=-\infty \]

\[ \boxed{x=4} \]

\[ y=-2x-8+\frac{36}{4-x} \]

\[ \boxed{y=-2x-8} \]

\[ y'=-2+\frac{36}{(4-x)^2} =\frac{-2x^2+16x+4}{(4-x)^2} \]

\[ y'=0\iff x=4\pm3\sqrt2 \]

\[ \begin{array}{c|cccc} x&(-\infty;4-3\sqrt2)&(4-3\sqrt2;4)&(4;4+3\sqrt2)&(4+3\sqrt2;+\infty)\\\hline y'&-&+&+&-\\ y&\searrow&\nearrow&\nearrow&\searrow \end{array} \]

\[ \min\left(4-3\sqrt2;\ 12\sqrt2-16\right)\approx(-0{,}24;\ 0{,}97) \]

\[ \max\left(4+3\sqrt2;\ -16-12\sqrt2\right)\approx(8{,}24;\ -32{,}97) \]

\[ y''=\frac{72}{(4-x)^3} \]

\[ \begin{array}{c|cc} x&(-\infty;4)&(4;+\infty)\\\hline y''&+&-\\ y&\cup&\cap \end{array} \]

\[ \begin{array}{c|ccccccc} x&-2&0&1&2&3&5&6\\\hline y&2&1&2&6&22&-54&-38 \end{array} \]

<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="900" height="700" viewBox="0 0 900 700">
  <rect width="900" height="700" fill="#ffffff"/>
  <defs>
    <clipPath id="plotClip">
      <rect x="80" y="40" width="780" height="600"/>
    </clipPath>
  </defs>

  <g stroke="#e5e7eb" stroke-width="1">
    <line x1="80" y1="40" x2="860" y2="40"/>
    <line x1="80" y1="115" x2="860" y2="115"/>
    <line x1="80" y1="190" x2="860" y2="190"/>
    <line x1="80" y1="265" x2="860" y2="265"/>
    <line x1="80" y1="340" x2="860" y2="340"/>
    <line x1="80" y1="415" x2="860" y2="415"/>
    <line x1="80" y1="490" x2="860" y2="490"/>
    <line x1="80" y1="565" x2="860" y2="565"/>
    <line x1="80" y1="640" x2="860" y2="640"/>

    <line x1="80" y1="40" x2="80" y2="640"/>
    <line x1="145" y1="40" x2="145" y2="640"/>
    <line x1="210" y1="40" x2="210" y2="640"/>
    <line x1="275" y1="40" x2="275" y2="640"/>
    <line x1="340" y1="40" x2="340" y2="640"/>
    <line x1="405" y1="40" x2="405" y2="640"/>
    <line x1="470" y1="40" x2="470" y2="640"/>
    <line x1="535" y1="40" x2="535" y2="640"/>
    <line x1="600" y1="40" x2="600" y2="640"/>
    <line x1="665" y1="40" x2="665" y2="640"/>
    <line x1="730" y1="40" x2="730" y2="640"/>
    <line x1="795" y1="40" x2="795" y2="640"/>
    <line x1="860" y1="40" x2="860" y2="640"/>
  </g>

  <rect x="80" y="40" width="780" height="600" fill="none" stroke="#9ca3af"/>

  <line x1="80" y1="265" x2="865" y2="265" stroke="#111827" stroke-width="2"/>
  <line x1="405" y1="640" x2="405" y2="35" stroke="#111827" stroke-width="2"/>
  <polygon points="865,265 855,260 855,270" fill="#111827"/>
  <polygon points="405,35 400,45 410,45" fill="#111827"/>

  <g font-family="Arial, sans-serif" font-size="12" fill="#111827">
    <text x="80" y="660" text-anchor="middle">-10</text>
    <text x="145" y="660" text-anchor="middle">-8</text>
    <text x="210" y="660" text-anchor="middle">-6</text>
    <text x="275" y="660" text-anchor="middle">-4</text>
    <text x="340" y="660" text-anchor="middle">-2</text>
    <text x="405" y="660" text-anchor="middle">0</text>
    <text x="470" y="660" text-anchor="middle">2</text>
    <text x="535" y="660" text-anchor="middle" fill="#dc2626">4</text>
    <text x="600" y="660" text-anchor="middle">6</text>
    <text x="665" y="660" text-anchor="middle">8</text>
    <text x="730" y="660" text-anchor="middle">10</text>
    <text x="795" y="660" text-anchor="middle">12</text>
    <text x="860" y="660" text-anchor="middle">14</text>

    <text x="397" y="44" text-anchor="end">30</text>
    <text x="397" y="119" text-anchor="end">20</text>
    <text x="397" y="194" text-anchor="end">10</text>
    <text x="397" y="269" text-anchor="end">0</text>
    <text x="397" y="344" text-anchor="end">-10</text>
    <text x="397" y="419" text-anchor="end">-20</text>
    <text x="397" y="494" text-anchor="end">-30</text>
    <text x="397" y="569" text-anchor="end">-40</text>
    <text x="397" y="644" text-anchor="end">-50</text>

    <text x="872" y="270" font-size="14">x</text>
    <text x="410" y="30" font-size="14">y</text>
  </g>

  <line x1="535" y1="40" x2="535" y2="640" stroke="#dc2626" stroke-width="2" stroke-dasharray="8 5"/>
  <line x1="80" y1="175" x2="860" y2="535" stroke="#f59e0b" stroke-width="2" stroke-dasharray="8 5"/>

  <text x="542" y="55" font-family="Arial, sans-serif" font-size="13" fill="#dc2626">x=4</text>
  <text x="760" y="480" font-family="Arial, sans-serif" font-size="13" fill="#b45309">y=-2x-8</text>

  <g clip-path="url(#plotClip)">
    <polyline points="
      80,155.7 96.25,162.5 112.5,169.2 128.75,175.9 145,182.5
      161.25,189.0 177.5,195.5 193.75,201.8 210,208 226.25,214.1
      242.5,220 258.75,225.7 275,231.3 291.25,236.5 307.5,241.4
      323.75,246.0 340,250 356.25,253.4 372.5,256 388.75,257.5
      397.1,257.7 405,257.5 421.25,255.4 437.5,250 453.75,239.5
      470,220 486.25,182.5 502.5,100 509,35.5 512.25,-11.2
      518.75,-162.5 525.25,-519.5 531.75,-2316.5"
      fill="none" stroke="#1d4ed8" stroke-width="2.6"
      stroke-linejoin="round" stroke-linecap="round"/>

    <polyline points="
      536.6,5785.8 538.25,3086.5 541.5,1738 551.25,932.5
      567.5,670 571.87,640 574,628 583.75,587.5 600,550
      616.25,530.5 632.5,520 648.75,514.6 665,512.5
      672.9,512.3 681.25,512.5 697.5,514 713.75,516.6
      730,520 762.5,528.6 795,538.8 827.5,550 860,562"
      fill="none" stroke="#1d4ed8" stroke-width="2.6"
      stroke-linejoin="round" stroke-linecap="round"/>
  </g>

  <circle cx="405" cy="257.5" r="3.5" fill="#111827"/>
  <text x="412" y="250" font-family="Arial, sans-serif" font-size="12" fill="#111827">(0;1)</text>

  <circle cx="397.1" cy="257.7" r="3.5" fill="#1d4ed8"/>
  <text x="360" y="278" font-family="Arial, sans-serif" font-size="12" fill="#111827">min</text>

  <circle cx="672.9" cy="512.3" r="4" fill="#1d4ed8"/>
  <text x="681" y="505" font-family="Arial, sans-serif" font-size="12" fill="#111827">max</text>

  <g font-family="Arial, sans-serif" font-size="13" fill="#111827">
    <rect x="90" y="55" width="235" height="80" rx="6" fill="#ffffff" opacity="0.92" stroke="#e5e7eb"/>
    <line x1="100" y1="75" x2="130" y2="75" stroke="#1d4ed8" stroke-width="3"/>
    <text x="140" y="80">y=(2x²+4)/(4−x)</text>
    <line x1="100" y1="100" x2="130" y2="100" stroke="#dc2626" stroke-width="2" stroke-dasharray="6 4"/>
    <text x="140" y="105">x=4</text>
    <line x1="100" y1="125" x2="130" y2="125" stroke="#f59e0b" stroke-width="2" stroke-dasharray="6 4"/>
    <text x="140" y="130">y=−2x−8</text>
  </g>
</svg>

В пункте 6 это знаки второй производной \(y''\), а не знаки самой функции.

\[ y''=\frac{72}{(4-x)^3} \]

\[ \begin{array}{c|cc} x & (-\infty;4) & (4;+\infty)\\ \hline y'' & + & -\\ y & \cup & \cap \end{array} \]

На графике:

• слева от вертикальной асимптоты \(x=4\) ставим \(\boxed{+}\) — график выпуклый вниз, «\(\cup\)»;
• справа от \(x=4\) ставим \(\boxed{-}\) — график выпуклый вверх, «\(\cap\)».

То есть по обе стороны от пунктирной прямой \(x=4\):

        +        |        −
     x < 4       |      x > 4
                 |
              x = 4

Если нужны знаки первой производной \(y'\) из пункта 5, то они такие:

\[ \begin{array}{c|cccc} x & (-\infty;4-3\sqrt2) & (4-3\sqrt2;4) & (4;4+3\sqrt2) & (4+3\sqrt2;+\infty)\\ \hline y' & - & + & + & - \end{array} \]

На графике это соответствует:

• до минимума \(x=4-3\sqrt2\): \(\boxed{-}\), функция убывает;
• между минимумом и \(x=4\): \(\boxed{+}\), функция возрастает;
• сразу после \(x=4\) до максимума \(x=4+3\sqrt2\): \(\boxed{+}\), функция возрастает;
• после максимума: \(\boxed{-}\), функция убывает.

В пункте 5 на графике (числовой прямой) отмечают три числа по \(x\):

\[ 4-3\sqrt2 \approx -0{,}24,\qquad 4,\qquad 4+3\sqrt2 \approx 8{,}24 \]

Точка \(x=4\) — не экстремум, а разрыв (вертикальная асимптота).

Знаки первой производной \(y'\):

      −        +        +        −
────────●───────┊────────●────────
    -0,24       4       8,24

То есть:

\[ (-\infty;-0{,}24)\Rightarrow - \]

\[ (-0{,}24;4)\Rightarrow + \]

\[ (4;8{,}24)\Rightarrow + \]

\[ (8{,}24;+\infty)\Rightarrow - \]

На графике подписывают:

\[ \min:\ x=4-3\sqrt2\approx-0{,}24,\qquad y_{\min}=12\sqrt2-16\approx0{,}97 \]

\[ \max:\ x=4+3\sqrt2\approx8{,}24,\qquad y_{\max}=-16-12\sqrt2\approx-32{,}97 \]

И рядом с \(x=4\) пишут:

\[ x=4 \text{ — асимптота, функция не определена.} \]

Если нужны только цифры для рисунка:

\[ \boxed{-0{,}24;\quad 4;\quad 8{,}24} \]

и знаки:

\[ \boxed{-,+,+,-} \]