Реши задание на изображении

Кратко:

1. \(\displaystyle \frac{x^5+2x^3-2x^2+x}{6}+C\)
   2а) \(\displaystyle \frac13\)
   2б) \(\displaystyle \frac{11}{3}\)
2. \(\displaystyle S=6\)

1) Неопределённый интеграл

\[ \int \frac{5x^4+6x^2-4x+1}{6}\,dx \]

Используем правило \(\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\):

\[ =\frac16\left(5\cdot\frac{x^5}{5}+6\cdot\frac{x^3}{3}-4\cdot\frac{x^2}{2}+x\right)+C \]

\[ =\frac16\left(x^5+2x^3-2x^2+x\right)+C \]

Проверка: производная ответа равна подынтегральной функции.

2а) Определённый интеграл

\[ \int_0^1 x^2\,dx \]

\[ =\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 =\frac{1^3}{3}-0 =\frac13 \]

Ответ: \(\boxed{\frac13}\)

2б) Определённый интеграл

\[ \int_0^{\pi/2}(3\sin 2x-2\cos 3x)\,dx \]

Сначала находим первообразную: \[ \int 3\sin 2x\,dx=-\frac32\cos 2x \] \[ \int (-2\cos 3x)\,dx=-\frac23\sin 3x \]

Значит: \[ \left[-\frac32\cos 2x-\frac23\sin 3x\right]_0^{\pi/2} \]

При \(x=\frac{\pi}{2}\): \[ -\frac32\cos\pi-\frac23\sin\frac{3\pi}{2} =\frac32+\frac23 \]

При \(x=0\): \[ -\frac32\cos0-\frac23\sin0=-\frac32 \]

Тогда: \[ \left(\frac32+\frac23\right)-\left(-\frac32\right) =3+\frac23 =\frac{11}{3} \]

Ответ: \(\boxed{\frac{11}{3}}\)

3) Площадь фигуры

Дано: \[ y=x^2+1,\quad y=0,\quad x=-1,\quad x=2 \]

Так как \(x^2+1>0\), фигура лежит выше оси \(Ox\). Поэтому площадь:

\[ S=\int_{-1}^{2}(x^2+1)\,dx \]

\[ S=\left[\frac{x^3}{3}+x\right]_{-1}^{2} \]

\[ S=\left(\frac{8}{3}+2\right)-\left(-\frac13-1\right) \]

\[ S=\left(\frac{14}{3}\right)-\left(-\frac43\right) =\frac{18}{3}=6 \]

Ответ: \(\boxed{6}\) кв. ед.